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Marie-Luise
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 14:55: | 
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Aufgabe 1
a) Die Funktion f:C->C genüge I f(x) I<= IxI für alle xeC. Zeigen Sie, dass f in 0 stetig ist.
b) Gilt a) auch noch wenn man von f nur folgendes weiß: Es existiert eine Funktion
g:C->C mit g(0)=0 und I f(x) I <=I g(x) I für alle xeC?
c)Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f:R->R an, die nirgends stetig ist, aber für die IfI auf ganz R stetig ist.
Anmerkung: I sind die Betragsstriche und <= bedeutet kleiner gleich |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 08:10: |
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Hallo Marie-Luise,
Zu a)
Sei e>0 fest gewählt. Wähle d:=e.
Dann gilt "z aus C: |f(z)-f(0)|=|f(z)|£|z|=|z-0|<d=e q.e.d.
Zu b)
Sei e>0 fest gewählt. Wähle d:=e. Nach Voraussetzung gilt: 0£|f(0)|£|g(0)|=0 Þ |f(0)|=0 Þ f(0)=0
Dann gilt ebenso "z aus C: |f(z)-f(0)|=|f(z)|£|g(z)|=|0|£|z-0|<d=e, q.e.d.
Zu c)
Sei f:R -> {-1,1} mit f(x)=-1, falls x rational,
f(x)=1, falls x nicht rational Þ f ist auf R nirgendswo stetig, da Q dicht in R liegt, aber:
|f|=1 ist die konstante Funktion Þ |f| ist trivialerweise stetig, q.e.d.
Gruß !
Lars ;-) |
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