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Beitrag |
    
Ouelid
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 07:26: | 
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gibt es einen Isomorphismus von <Z,+> auf <Q,+> ?
warum/ oder welcher? |
Thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 20:33: |
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Hallo Quelid,
wenn f(1)=q ist, folgt daraus f(2)=f(1+1)=2q oder allgemein f(z)=z*q.
Das heißt das Bild der Abbildung durchläuft Q in Schritten q, enthält also niemals alle Brüche und f kann deshalb nicht bijektiv sein.
Habe ich mir auf die Schnelle überlegt, hoffe es stimmt so.
Grüße,
Thomas |
chnueschu
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 22:23: |
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hallo quelid, hallo thomas.
ich habe eine frage und auch eine überlegung:
frage (an thomas): wie kommst du von f(1+1) auf 2q?
ich denke, dass du mit 2q eigentlich 2*q meinst. woher kommt aber dieses *?
in der gruppe <Q,+> ist ja kein * definiert.
es wäre also f(1+1)=q+q.
überlegung:
ein isomorphismus ist ein bijektiver homomorphismus.
da sowohl Z wie auch Q abzählbar sind, gibt es ja einen Isom. der beiden Körper nach N.
also muss es doch auch einen von Z in Q (resp. Q in Z) geben.
ob dann die bedingung f(x°y)=f(x)°f(y) erfüllt ist... das sehe ich gerade nicht.
gruss chnüschu. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 12:55: |
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Hi,
Du kannst statt 2*q auch q+q schreiben. Die Argumentation bleibt die gleiche.
Zu deiner Überlegung: Eine bijektive Abbilduung zu finden ist kein Problem (Diagonalverfahren), da hast du Recht.
Ein Isomorphismus ist aber mehr. Entscheidend ist die Verträglichkeit mit der Addition.
Grüße,
Thomas |
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