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Robert
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 13:05: | 
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BITTE HELFT MIR!!!
Zeigen Sie, dass fuer die Folge {a_m} mit
a_m+2=(a_m+1 + a_m)/2 , m>=1 und a_1=2, a_2=7,
die Teilfolgen der Glieder mit geradem bzw. ungeradem Index monoton sind. Kann man damit auf Konvergenz schliessen?
BITTE UM HILFE BEI DER LOESUNG!!!
DANKE!!! |
tom
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 18:45: |
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hallöchen,
ich hab zwar auch nicht viel Plan, aber vielleicht hilft es dir, wenn du den Grenzwert ausrechnest (für a_m, a_m+1,a_m+2 g einsetzen und nach g umstellen) |
Ouelid
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 10:14: |
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Hallo Robert!!
Du Kannst die Z-transformation benutzen,da es sich um eine Fibonacci-Folge handelt:
Das Ergebnis ist:
a(n)=(16/3)+(20/3)*((-1/2)^n).
jetzt ist es leicht,einfach:
a(n+1)-a(n)=(20/3)*((-1/2)^(n+1)-(-1/2)^n)
=(20/3)*((-1/2)^n)*((-1/2)-1)
=(-3/2)*(20/3)*(-1/2)^n
n gerade also ergebnis negativ
n ungerade Ergebnis positiv
d.h unser Folge ist nicht monoton
a(n+2)-a(n)=(20/3)*(-1/2)^n*(1/4-1)
=(20/3)*(-3/4)*(-1/2)^n
n:gerade negativ
n:ungerade :positiv
Also die Teilfolgen mit geraden index sind monoton fallend und die mit ungeraden index sind monoton steigend.
D.h auch wenn diese Teilfolgen konvergieren, wuerden sie verschiedene grenzwerte haben also 2 Haeufungspunkte bzgl (a_n) somit (a_n) muss divergent sein. |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 18:35: |
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Hallo:
Beide Teilfolgen sind natŸrlich konvergent mit
dem gemeinsamen Grenzwert 16/3 !
Variante betr. explizite Darstellung: FŸr die
Differenzenfolge d_m := a_(m+1) - a_m gilt
gemaess Rekursionsformel:
d_(m+1) = (- 1/2)d_m,
also (Induktion !)
d_m = 5*(- 1/2)^(m-1).
Aus der geometrischen Reihe
a_m = a_1 + d_1 + ... + d_(m-1)
ergibt sich dann leicht obige Formel.
mfg
birdsong |
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