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Gleichung

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Nina
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 12:53:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
a) Zeigen Sie, dass die Gleichung x²+y²=z² Lösungen x,y,z E aus N besitzt.
b) Zeigen Sie, dass die natürlichen Zahlen x und y nicht beide ungerade sein können, falls x²+y²=z² gilt.
Wer kann mir bitte helfen?
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Cooksen
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 22:45:   Beitrag drucken

Hallo Nina!

zu a)
Alle Pythagoräischen Zahlentrippel sind Lösungen Deiner Gleichung, z.B. (3,4,5)

zu b)
Wenn x eine ungerade Zahl ist, dann hat x² modulo 4 den Rest 2.
Beweis:
Es sei x = 2*a + 1 für eine natürliche Zahl a. Dann ist x² = 4*a² + 4*a + 1.
q.e.d.
Daraus folgt für ungerade Zahlen x und y: x² + y² ist durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. z² enthält also den Primfaktor 2 nur einmal und das ist unmöglich, wenn z eine natürliche Zahl ist.

Gruß Cooksen
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Markus (Boothby81)
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 14:19:   Beitrag drucken

hi.

kleiner tippfehler bei cooksen:
'zu b)
Wenn x eine ungerade Zahl ist, dann hat x² modulo 4 den Rest 2.'
x^2 mod 4 ist natürlich 1, wie er ja zwei zeilen später selbst beweist.

gruß
markus
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Nina
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 19:55:   Beitrag drucken

Super!
Vielen Dank (Euch beiden)!!!!
Nina

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