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Markus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 23:21: | 
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Wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen? *hoff*
Sei F(x)=x^2-a, a>0. Verwendet man das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen von F, so erhält man xn+1=(1/2*(xn+a/(xn)). Man zeige, dass diese Folge für xo>0 gegen +(a)^(1/2) konvergiert.
Wäre toll, wenn mir jemand bei diesem Beweis behilflich sein könnte! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 19:20: |
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Hi Markus,
Wir zeigen, dass die Folge der x(n) nach unten
beschränkt ist (1.Schritt);
dann zeigen wir, dass die Folge monoton
abnehmend ist, untere Schranke a (2.Schritt).
Dann berechnen wir den Grenzwert g,
welcher nach (1) und (2) existiert, und zwar
aus der Gleichung
g = ½ ( g + a /g) ; es gilt:
g = wurzel(a), (3.Schritt)
Zu(1):
[a(n+1)]^2–a = ¼*[a(n)^2+2a+a^2 / {a(n)}^2] – x =
¼ * [a(n) – a /{a(n)}] ^2 > = 0 ,
daraus folgt der Reihe nach:
{a(n+1)}^2 > = a , a(n+1) > = wurzel(a) und
a(n) > = wurzel(a) für alle n > 1.
Zu(2):
Für n >1:
Wegen a(n) > = wurzel(a) gilt
a / a(n) < = wurzel(x) und infolgedessen
a(n) – a(n+1) = ½ a(n) – ½ {a/a(n)}= a(n+1) – a / a(n) > =
a(n+1) – wurzel (a) > = 0 ;
somit ist a(n) > = a(n+1) für alle n >1 w.z.z.w.
zu (3)
Da sowohl a(n+1) als auch a(n) gegen g konvergieren
für n gegen unendlich, kannst Du in der Rekursionsformel
je links und rechts zur Grenze übergehen.
Du bekommst die oben angegebene Gleichung
zur Bestimmung von g.
Das wär’s !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 22:44: |
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Danke für die Hilfe! Hätte allerdings noch eine Frage:
Warum genügt es zu zeigen, dass die Folge der (xn) nach unten beschränkt und monoton abnehmend ist? Schließlich kann ja der Startwert auch kleiner als die Wurzel(a) sein. In diesem Fall wäre ja die Folge dann nach oben beschränkt und monoton wachsend. Muss das nicht auch noch gezeigt werden? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 09:16: |
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Hi Markus,
Beachte das Folgende:
Bei der vorliegenden Beweisführung spielt der Startwert
gar keine Rolle. Das rührt davon her,
dass nur das infinitäre Verhalten der Folge wesentlich ist
Es gilt der Satz
Fügt man einer Zahlenfolge eine endliche Anzahl von
Gliedern hinzu oder nimmt man aus ihr eine endliche
Anzahl weg, so ändert sich das Konvergenzverhalten nicht.
Anders formuliert:
Bei einer unendlichen Zahlenfolge sind die Glieder
mit niederem Index unwesentlich, insbesondere wird
der eventuelle Grenzwert der Folge von ihnen nicht berührt
Im vorliegenden Fall wurde nachgewiesen, dass die Folge
von einem endlichen Index an für alle Indizes
nach unten beschränkt und monoton fallend ist.
Das genügt für den Nachweis der Konvergenz vollauf.
Zum Schluss möchte ich eine nette Eselsbrücke
zu diesem Konvergenzsatz anfügen .
Vor langer Zeit ging über einen von uns Studenten nicht
sehr geschätzten Professor X die Rede, er sei konvergent.
Beweis: X ist monoton und beschränkt,q.e.d.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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