| Autor |
Beitrag |
    
Dominik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 21:37: | 
|
ich habe follgende aufgabe gestellt bekommen und weis nicht wie ich diese lösen soll.
kann mir das einer schritt für schritt erklären?
Aufgabe:
Zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung:
Für a,b Element der reelen Zahlen mit a<b gilt:
e^a *(b-a) < e^b - e^a < e^b *(b-a)
[e^b soll e hoch b heissen] |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 23:12: |
|
Hi Dominik ,
Für die Funktion f(x) = e ^ x schreiben wir den
Differenzenquotient
[e ^ b - e ^ a] / (b -a ) an der Stelle xo = a < b
für das Intervall (a,b) an.
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
stimmt dieser Quotient mit der Ableitung f ´(x) = e^x
an einer Zwischenstelle u überein,
wobei a < u < b gilt.
Wegen e ^ a < e ^ u < e ^ b kommt
e ^ a < [ e ^ a – e ^ b ] / (b-a) = e ^ u < e ^ b
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
woraus die Behauptung folgt, wenn man
links, in der Mitte und rechts mit (b-a)>0
multipliziert.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
|
