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Beni
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 14:47: | 
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Hallo ,
wer kann mir bei der Lösung der folgenden Aufgabe helfen ?
Man finde die Gleichung der Umhüllenden aller Wurfparabeln,
die bei konstanter Anfangsgeschwindigkeit c und veränderlichem
Elevationswinkel fi entstehen .
Vielen Dank schon jetzt !
Beni |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 17:23: |
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Hi Beni,
Wir gehen aus von der Parameterdarstellung einer
Wurfparabel mit der Zeit t als Parameter.
x = c cos (fi) * t , y == c sin(fi) * t – ½ * g * t ^ 2 ;
Wir eliminieren t und suchen die Darstellung y = y(x)
für die Gleichung einer solchen Parabel.
Wir finden wegen t = x / [ c * cos(fi)]
y = x * tan(fi) – { g / [2 c^2 * (cos(fi)) ^ 2 ] * x ^ 2 }… ...................(I)
Um die Gleichung der Umhüllenden oder Enveloppe
zu erhalten, leiten wir die Gleichung (I) nach dem
Parameter fi ab und eliminieren alsdann aus der neuen
Gleichung (II) und der Gleichung (I) den Parameter fi.
Dies ergibt die gesuchte Gleichung der Umhüllenden.(E)
Ausführung
Partielle Ableitung von (I) nach fi:
0 = x * 1/(cos(fi)^2) + [g * x^2 / 2* c^2] * [-2 sin (fi) / (cos(fi))^3 ]..(2)
Aus (2) finden wir:
tan(fi) = c^2/(g*x), damit :
(cos(fi)) ^ 2 = [g^2 * x^2 ] / [ g^2*x^2 + c^4], cos(fi)=….
sin(fi) = tan(fi) * cos (fi) = c^2 / wurzel(g^2*x^2+c^2)
Dies alles setzen wir in (1) ein und erhalten als Gleichung (3)
der Umhüllenden eine Parabelgleichung, die Gleichung der
so genannten Sicherheitskurve für den schiefen Wurf
(der Begriff stammt aus der Ballistik).
(3) lautet in vereinfachter Form:
y = c^2 / (2*g) - g / (2*c^2) * x^2……………………………………(3)
Diese Parabel ist nach unten geöffnet und symmetrisch
bezüglich der y-Achse;sie schneidet die x Achse
in den Punkten A(- u / 0 ) , B( u / 0 ) und die y-Achse im Punkt
C( 0 / v ) mit u = c ^ 2 / g , v = c ^ 2 / ( 2*g ).
u ist die Wurfweite für fi = 45° , v die Wurfhöhe für fi = 90°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Beni
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 11:56: |
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Hi H.R.Moser,megamath.
Für Deine Ausführungen zur Lösung meiner Aufgabe
besten Dank !
Ich versuche, jeden einzelnen Schritt nachzuvollziehen.
MfG
Beni |
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