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Beitrag |
    
Julia (Joon)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 14:00: | 
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Gegeben seien zwei Ebenen E1 und E2 in Parameterdarstellung:
E1: x= a + r1 b1+ r2 b2 (b1b2 lin. unabh.)
E2: y= c+t1d1+t2d2 (d1d2, lin.unabh.)
Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i) E1und E2 sind Parallel
ii) Es gibt reelle Zahlen alpha1, alpha2, beta1, beta2 mit alpha1*beta2-alpha2*beta1 ungl. 0 und b1= alpha1 d1+ alpha2 d2, b2= Beta1*d1+ beta2*d2. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 13:50: |
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Hi Julia,
Es folgt eine Lösung der Teilaufgabe [i] ;
dazu ein paar Vorbemerkungen:
Aenderung der Bezeichnungen
bezüglich der benützten Skalare:
statt alfa1 steht u1, statt alfa2 steht u2
statt beta1 steht v1, statt beta2 steht v2,
die Determinante u1 * v2 – u2 * v1
wird mit D bezeichnet.
Ausgiebig wird vom vektoriellen Produkt
axb zweier Vektoren a und b Gebrauch
gemacht (das Kreuz x ist Operationszeichen)
Bekannt sind die Gesetze
axb = - bxa (Antikommutativität)
bxb = o (Nullvektor)
ax(b+c) = axb + axc (Distributivgesetz)
Achte pedantisch auf die Reihenfolge der Faktoren !
Voraussetzung des Satzes
bezüglich der Vektoren b1,b2 und d1,d2:
b1 = u1*d1 + u2 *d2
b2 = v1*d1 + v2 *d2
Determinante D ungleich null.
Behauptung:
Die Ebenen E1 und E2 sind parallel.
Damit ist gleichbedeutend, dass ihre Normalenvektoren
n und m kollinear sind.
Als Normalenvektoren dienen geeignete Vektorprodukte
Da b1 und b2 die Ebene E1 aufspannen, gilt: m = b1x b2
Da d1 und d2 die Ebene E2 aufspannen, gilt n = d1xd2
Beide Vektoren sind nicht Nullvektoren wegen
der linearen Unabhängigkeit der Paare b1,b2 und d1,d2.
Jetzt zum Kern des Beweises:
Wir berechnen den Vektor n aus m durch reges Klammernlösen
m = (u1*d1+u2*d2)x(v1*d1 + v2*d2) =
u1 v1*(d1xd1) + u2 v1*(d2xd1) +u1 v2*(d1xd2) + u2 v2*(d2xd2)
Die erste und letzte Klammer stellen je den Nullvektor o dar,
statt d2xd1 schreiben wir - d1xd2;
es bleibt:
m = (u1*v2-u2*v1) * (d1xd2) = D* n
n und m sind tatsächlich kollinear ,w.z.z.w.
Gruss
H.R.Moser,megamath, |
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