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Beitrag |
    
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 11:07: | 
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c:  Image13.gif |
Mh
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 08:25: |
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 18:07: |
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Hi Kay , hi Manfred,
Mh hat einen vorzüglichen Beitrag zu einem
schwierigen Thema geliefert.
Gleichwohl möchte ich einige Ergänzungen anbringen ;
mein Beitrag wird allerdings nur summarisch sein
und sich auf die Behandlung der beiden Integrale
J1, J2 beschränken, wobei gilt:
J1 = int [1/wurzel(1-x^4) *dx]
und
J2 = int [x^2 / wurzel(1-x^4)*dx]
beidesmal: untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Die Behauptung lautet
J1 * J2 = ¼ * Pi
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Wir benötigen Kenntnisse über die sogenannten
Eulerschen Integrale erster und zweiter Gattung,
besser bekannt unter den Namen
Beta-Funktion B(p,q) und
Gamma-Funktin Gamma (p) ,
wobei
B(p,q) = int [ x ^ (p-1)*(1-x) ^ (q-1) * dx]
untere Grenze 0 , obere Grenze 1
Gamma(p) = int[e ^ (-x) * x ^ (p-1) * dx]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Bemerkenswerte Sätze
B(p,q) = [Gamma(p) * Gamma(q)] / Gamma (p+q).........(1)
Gamma(1+p) = p * Gamma (p)…………………………(2)
Gamma( ½ ) = wurzel(Pi)………………………………(3)
Es gilt, wie auch Maple erkennt:
J1 = ¼ *B( ¼ , ½) ~1,311028777
J2 = ¼ *B( ¾ , ½ ) ~0,5990701173
Nun bilden wir das Produkt unter Benützung obiger Formeln:
(G steht für Gamma)
J1 * J2 = 1/16*[G ( ¼ )*G ( ½ )* G( ¾ )*G ( ½ )] / [ G( ¾) *G (5/4)]
= 1/16 * Pi * G ( ¼ ) / G (5/4) =¨Pi /16 * G( ¼ ) / [ ¼ *gamma( ¼ )
= ¼ * Pi w.z.z.w.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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