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Beitrag |
    
Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 09:38: | 
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Hallöchen!
Ich habe ein kleines Problem hier, vielleicht könnt ihr ja helfen?!?
1. Im Vektorraum R4 ist die Familie von 4 Vektoren a = (1,1,2,4) , b = (2,-1,-5,-2) , c = (1,-1,-4,0) , d = (2,1,1,6).
a) Bestimme die Dimension des von a , b , c , d erzeugten Unterraums U =< R4.
b) Ist (1,2,5,1) Element von U?
Bitte seid so lieb und versucht mir mal ein wenig auf dei Beine zu helfen.
Dankeschön! |
Ouelid
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 08:23: |
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a=(1,1,2,4)
b=(2,-1,-5,-2)
c=(1,-1,-4,0)
d=(2,1,1,6)
a) Stelle diese vektoren untereinander:
1 1 2 4
2 -1 -5 -2 =>Mit Hilfe elementaropereationen
1 -1 -4 0 Wir schreiben Z für Zeile
2 1 1 6
Z3:= Z3-Z1 1 1 2 4
2 -1 -5 -2
0 -2 -6 -4
2 1 1 6
Z2:=Z2-2*Z1
1 1 2 4
0 -3 -9 -10
0 -2 -6 -4
2 1 1 6
Z4:=Z4-2*Z1
1 1 2 4
0 -3 -9 -10
0 -2 -6 -4
0 -1 -3 -2
Du siehst daß Z4=0,5 * Z3
das heißt Z4 und Z3 linear abhängig also fällt einer weg
somit:
1 1 2 4
0 -3 -9 -10
0 -1 -3 -2
Z3:=3*Z3-Z2
und Z2:=-1*Z2
Somit 1 1 2 4
0 3 9 10
0 0 0 4
Z4:=0,25*4
somit : 1 1 2 4
0 3 9 10
0 0 0 1
diese drei Vektoren sind linear abhängig:
a (1,1,2,4)+b(0,3,9,10)+c(0,0,0,1)=0
=> a=b=c=0
(das kann man sehr schnell überprüfen)
Somit ist die dimension von U:
dim U=3.
b)ist Element von U d.h
gibt es ein tripel (a,b,c)
so daß:
(1,2,5,1)=a(1,1,2,4)+b(0,3,9,10)+c(0,0,0,1)
d.h ein System von Gleichungen zu lösen:
a=1
3b+a=2 => b=1/3
2a+9b=5 =>9b=3 => b=1/3 also ist element von U
da die die beiden gleichungen kein Widerspruch erzeugt haben.
Für c:1=4a+10b+c
c=-3-10/3
Gruß Ouelid |
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