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Anwendungen der Dgl.auf ebene Kurven

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Differentialgleichungen » Anwendungen der Dgl.auf ebene Kurven « Zurück Vor »

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Pit
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 21:35:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich bitte um Hilfe bei der Lösung der folgenden
Aufgabe aus dem Gebiet
Anwendungen der Differenzialgleichungen
auf ebene Kurven.
Für welche Kurven ist die Normale in jedem
Punkt P gleich dem Krümmungsradius in diesem Punkt ?
(Die Normale ist die Strecke auf der Kurvennormalen
von P bis zu ihrem Schnittpunkt mit der x-Achse)
Vielen Dank zum voraus.

Pit
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 07:05:   Beitrag drucken

Hi Pit,

Du hast mir mit Deiner Aufgabe einen Teil des Schlafs
geraubt; ich hoffe aber, dass sich die Investitionen in die
nächtliche Arbeit gelohnt haben.

Hier eine Lösung.
Wir lösen die Aufgabe etwas allgemeiner und fragen:
für welche Kurven ist der Krümmungsradius R das
v-fache der Normalen N; wann gilt also
R = v * N; die zugehörige Dgl. lautet:
[ 1 + (y´ )^2] ^ (3/2) / y´ ´ = v * wurzel [y^2+ ( y y´ ) ^ 2 ]
wie man anhand einer einfachen Handskizze leicht feststellt
Die Formel für den Krümmungsradius dürfte allgemein
bekannt sein.
Zieht man rechts noch y als Faktor vor die Wurzel und
dividiert man beide Seiten mit wurzel [1+( y´ ) ^ 2 ],
so verbleibt:
[ 1 + ( y´ ) ^2 ] / ( v * y ) = y ´´
Diese Dgl. ist frei von x ; daher substituieren wir
y´= p(y) .
Daraus wird y ´´ = dp/dy * dy/dx = dp/dy * y´=dp/dy * p
Wir erhalten eine Dgl. erster Ordnung für p(y) als
unbekannte Funktion.
(1 + p ^ 2 ) / ( v * y ) = p * dp / dy
Die Variablen lassen sich trennen ; es entsteht :
dy / y = v * [ p / ( 1 + p ^2 )] * dp, integriert :
ln y = v * ½ * ln ( 1 + p ^2 ) + ln ( a )
mit a als Integrationskonst., also:
½ * v * ln (1 + p ^ 2 ) = ln(y/a),mithin
1 + p ^ 2 = [y / a ] ^ ( 2 / v ) ,daraus
y ´ = p = dy/dx = wurzel { [ y / a ] ^ (2 / v) – 1 },
Wir trennen die Variablen x , y :
dx = dy / wurzel { [y/a] ^(2/v)-1 }
oder, indem wir zunächst - wie verlangt-
v = 1 setzen:
dx = a * dy / wurze [ y ^ 2 – a ^ 2 ]
Wenn wir nun zum zweitenmal integrieren, so entsteht
die Gleichung einer Schar von Kettenlinien :
x + c = a * arcosh ( y / a ), schliesslich:
y = a * cosh {(x + c) / a } ; a und c sind Integrationskonstante.


Die Gegenfrage Frage sei gestellt.
Welche Kurven entstehen für v = - 1, v = 2 , v = - 2 ?

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Pit
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 15:55:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath,

vielen Dank für Deine lehrreiche Antwort !
Ich habe mich mit andern Faktoren ein wenig
herumgeschlagen;
Resultat:
v = -1 : Kreis
v = 2 : Parabel
v = - 2 : Zykloide

MfG
Pit

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