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Annika
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 14:34: | 
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Hallo!
Wer kann mir helfen? Ich habe folgende Aufgabe: Sehen Sie im folgenden Muster eine Gesetzmäßigkeit? Wenn ja, welche? Erklärung, warum man auf diesen Weg gekommen ist.
1 = 1
3+5 = 8
7+9+11 = 27
13+15+17+19 = 64
21+23+25+27+29 = 125
=
Die letzte Reihe ist nicht mehr gegeben. Wer kann mir bitte helfen? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 15:41: |
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Hi Annika,
Wir betrachten die k-te Zeile.
Links steht eine arithmetische Reihe mit der Differenz 2,
die Gliederzahl ist n = k .
Das Anfangsglied sei a(k) , das Endglied sei b(k) .
Dann gilt, wie man leicht bestätigt
a(k) = k^2 - (k-1) = k^2 – k + 1
(beachte, dass die ersten Glieder in den Zeilen
von oben nach unten gelesen eine arithmetische Folge
zweiter Ordnung bilden).
b(k) = a(k) + (k -1) * 2 = k^2 + k – 1
Nun wenden wir die Summenformel für die arithmetische
Reihe erster Ordnung an.
Die Summe s(k) aller Glieder in der k-ten Zeile ist nach
dieser Formel gleich dem Produkt aus dem arithmetischen
Mittel aus Anfangs- und Endglied mal Gliederzahl, also
s(n) = ½ * [a(k) +b(k)] * k = k^3. Bravo !
Dies stimmt tatsächlich mit den Zahlen auf den rechten
Seiten überein, wo die dritten Potenzen
der Zahlen 1 , 2 , 3.. k,.... stehen.
Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Annika
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 11:33: |
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VIELEN DANK. Super Antwort. Aber ich brauch da noch ein bisschen Hilfe bei der Erklärung. Kannst Du vielleicht kurz beschreiben, was Du gemacht hast. Und wieso das so ist. Danke |
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