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Affine Abbildung und Translation

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mazi
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 15:47:   Beitrag drucken

Ich hoffe, dass uns irgendjemand helfen kann!!

Im Euklidischen Raum (V,<,>) sei f:V-->V eine affine Abbildung.

Zeigen Sie:

f ist eine Translation genau dann, wenn ein K>0 existiert mit //f(x)-x// kleiner gleich K, für alle x Element V

Danke!
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Lars Brünjes (Lbrunjes)
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 10:47:   Beitrag drucken

Hallo!

Sei x0 ein festgewählter Punkt aus V. Bekanntlich(!) ist läßt sich dann jede affine Abbildung f:V->V schreiben als f(x0+v)=A(v)+f(x0) für einen Endomorphismus A des Richtungsvektorraumes von V. Es ist f genau dann eine Translation (um den Vektor w) wenn f(x)-x konstant gleich w ist für alle x aus V.

Setze w:=f(x0)-x0.
Es ist f(x0+v)-(x0+v)=[A(v)+f(x0)]-[x0+v]=[A(v)-v]+[f(x0)-x0]=(A-I)(v)+w,
wobei I die identische Abbildung bezeichne.

Wir erhalten also: f ist genau dann eine Translation, wenn (A-I)(v)=0 für alle v, d.h. wenn (A-I) die Nullabbildung ist bzw. wenn A=I gilt.

Jetzt können wir die Behauptung leicht beweisen:

Sei zunächst f eine Translation. Setze K:=||w||+1>0.
Nach unseren obigen Überlegungen ist dann A-I die Nullabbildung und also für alle v:
||f(x0+v)-(x0+v)||=||0(v)+w||=||w||=K-1£K.

Existiere umgekehrt ein K>0 wie in der Behauptung. Wir wollen zeigen, daß A-I die Nullabbildung ist. Angenommen, dies sei falsch. Dann gibt es also ein v, so daß u:=(A-I)(v)¹0, d.h. ||u||>0.
Wir können dann ein l>0 so wählen, daß l•||u||>||w||+K. Damit folgt aber:
||f(x0+lv)-(x0+lv)||=||(A-I)(lv)+w||=||lu+w||³||lu||-||w||=l||u||-||w||>(||w||+K)-||w||=K,
und dies ist ein Widerspruch! Unsere Annahme war also falsch, d.h. A-I ist die Nullabbildung, d.h. f ist eine Translation. q.e.d.
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mazi
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 13:07:   Beitrag drucken

Vielen vielen Dank!!!!!!!

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