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Beitrag |
    
Jens (Fhbochum)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 09:26: | 
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Hallo, ich hab hier ein kleines Problem.
Aufgabe:
Man leite her einen Ausdruck für die 2. Ableitung y´´einer Funktion, gegeben in Polarform r=r(phi). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 14:18: |
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Hi Jens,
Für den Phasenwinkel verwende ich die
Bezeichnung t statt phi, sodass die
Polarkoordinatendarstellung lautet:
r = r(t)
Die Brücke zu den rechtwinkligen Koordinaten
wird durch die bekannten Beziehungen
x = r cos t
y = r sint t.
geschlagen.
Um zunächst den Differentialquotienten dy/dx
zu bekommen, berechnen wir die Differentiale
dx,dy :
dx = cos t * dr – r * sin t * dt
dy = sin t * dr + r* cos t *dt
Der Differentialquotient wird zu
dy /dx = [sin t * dr + r * cos t *dt ] / [cos t * dr – r sin t * dt ] /
jetzt kürzen wir den Bruch mit dt und erhalten wegen
r´= dr / dt:
dy /dx = [ r´ * sin t + r * cos t ] / [r´ * cos t – r * sin t ]
kürzen wir weiter mit cos t , so erscheint tan t:
dy / dx = [ r + r´* tan t ] / [ r ‘- r * tan t ]………………….(1)
Etwas komplizierter ist die Ermittlung der zweiten Ableitung
y ´´ = d^2 y / d x^2 .
Das Resultat , das ich ev. später herleite, lautet
y´´ = [r ^ 2 + 2* ( r´ ) ^ 2 – r * r ´´ ] / [r´ * cos t – r * sin t ] ^ 3
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r´ und r ´´sind die Ableitungen von r =r(t) nach t !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 06:13: |
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Hi Jens ,
Es folgt eine kleine, nicht unwichtige Ergänzung
Aus dx = cos t * dr – r * sin t * dt folgt nach
Division mit dt und beim Uebergang zum
Reziproken
dt / dx = 1 / [ cos t * d r / dt – r * sint ] =
1 / [ r´ * cos t - r * sin t ]...................................(2)
Weiter gilt:
y ´´ = d y ´ / dx = {d y´ / dt }* { dt / dx }
Dabei ist d y ´ = d { [ r + r´* tan t ] / [ r´-r * tan t ] }
Den zweiten Faktor dt / dx entnehmen wir (2).
Beim Ableiten mit der Quotientenregel
entsteht für y´´ ein Bruch, in dem mit Sicherheit
im Nenner die dritte Potenz von ( r´ cos t – r sint )
steht;
der Zähler r ^ 2 + 2 * r ´ ^ 2 – r * r ´´ erscheint erst nach
längerer Rechnung, auf die wir hier aus humanitären
Gründen verzichten.
Beiläufig zeigen wir noch einen anderen Sachverhalt
Sei alpha der Richtungswinkel eines beliebigen, aber festen
Kurvenpunktes P, beta der Winkel zwischen dem Fahrstrahl OP
und der Tangente t in P, welche die x-Achse in T schneidet,
so gilt wegen des Aussenwinkelsatzes im Dreieck OPT:
alpha = t + beta, somit:
y ´= tan (alpha) = tan ( t + beta);
nach dem Additionstheorem des Tangens kommt:
y ´= [ tan t + tan (beta) ] / [ 1- tan t * tan (beta) ]
Vergleicht man dies mit dem früheren Resultat
y ´= [tan t + r * dt /dr] / [1 – r * tan t * dt/dr]
so folgt :
r * d t / dr = tan (beta) oder dr / dt = r * cotg (beta)...............(3)
Da in diesen Gleichungen der Winkel alpha nicht auftritt,
schliessen wir:
Der Differentialkoeffizient dr / dt ist von der Lage
der x-Achse unabhängig.
Eine runde Sache hat ihren Abschluss gefunden !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Jens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 09:27: |
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Hallo und Danke für die schnelle Hilfe an H.R. Moser.
Gruss Jens |
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