| Autor |
Beitrag |
    
Hubert
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 08:36: | 
|
Hallo,
ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht:
Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der
einparametrigen Ellipsenschar
p^2 * x^2 + y^2 = p^2 ( p als Parameter).
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Hubert. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 09:56: |
|
Hi Hubert,
Wir leiten die Gleichung der Kurvenschar
p^2 * x ^2 + y ^ 2 = p^2……………….(1)
implizit nach x ab.
2* p^2 * x + 2 *y * y´ = 0 , daraus
y´ = - p^2 * x / y………………………(2)
Aus den Gleichungen (1) , (2) wird der
Parameter eliminiert, indem
p^2 = - y * y ´/ x aus (2) in (1)
eingesetzt wird; es entsteht eine Dgl.der
Ellipsenschar, nämlich :
x ^ 2 - x * y / y´= 1……………………(3)
Um daraus eine Dgl. der orthogonalen
Trajektorien zu erhalten, ersetzen wir
y´ durch – 1 / y´ ; es entsteht :
x ^ 2 + x * y * y ´ = 1, oder
y ´ * y = ( 1 – x ^ 2) / x ………………(4)
als Dgl. der gesuchten Schar.
Diese Dgl. lässt sich durch eine Separation
der Variablen lösen; aus
int [y*dy] = int [(1- x^2 ) / x * dx]
entsteht mit c als Scharparameter:
y ^ 2 / 2 = ln x – x ^ 2 / 2 + ln c , also
x ^ 2 + y ^ 2 = 2* ln (cx)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath. |
|
