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Normalteiler d. Ordnung 6!

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Denise P. (Bliz__Zard)
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Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 18:06:   Beitrag drucken

Hallo!

Wie beweise ich, dass jede Gruppe der Ordnung 6 einen Normalteiler der Ordnung 3 hat
bzw. dass jede Gruppe der Ordnung 28 einen Normalteiler der Ordnung 7 hat?

Herzlichen dank für eure Antworten!!!!

mfG
Denise
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Lars Brünjes (Lbrunjes)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 14:48:   Beitrag drucken

Hallo, Denise!

Das geht ganz einfach, wenn man die Sylow-Sätze benutzen darf:

Sei G eine endlich Gruppe der Ordnung n und p eine Primzahl, dann gilt:
1.) G besitzt eine p-Sylow-Untergruppe.
2.) Alle p-Sylow-Untergruppen von G sind konjugiert.
3.) Ist s die Anzahl der verschiedenen p-Sylow-Untergruppen von G, so gilt: s ist ein Teiler von n, und s ist kongruent 1 modulo p.

Zunächst folgt aus 1.) und 2.): Wenn G nur eine p-Syslow-Untergruppe besitzt, so ist diese ein Normalteiler (denn nach 2. sind die Konjugierten der p-Syslow-Untergruppe U wieder eine p-Syslowuntergruppe, also wieder gleich U, also ist U per definitionem ein Normalteiler).

Du mußt also nur zeigen: Jede Gruppe der Ordnung 6 (bzw. 28) besitzt nur eine 3- (bzw. 7-)Sylow-Untergruppe.

Dies geht ganz leicht mit 3.):

Die Teiler von 6 sind 1,2,3,6, aber davon ist nur 1 kongruent 1 modulo 3.

Die Teiler von 28 sind 1,2,4,7,14,28, aber davon ist nur 1 kongruent 1 modulo 7.

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