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Denise P. (Bliz__Zard)
| Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 18:06: |
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Hallo! Wie beweise ich, dass jede Gruppe der Ordnung 6 einen Normalteiler der Ordnung 3 hat bzw. dass jede Gruppe der Ordnung 28 einen Normalteiler der Ordnung 7 hat? Herzlichen dank für eure Antworten!!!! mfG Denise |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 14:48: |
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Hallo, Denise! Das geht ganz einfach, wenn man die Sylow-Sätze benutzen darf: Sei G eine endlich Gruppe der Ordnung n und p eine Primzahl, dann gilt: 1.) G besitzt eine p-Sylow-Untergruppe. 2.) Alle p-Sylow-Untergruppen von G sind konjugiert. 3.) Ist s die Anzahl der verschiedenen p-Sylow-Untergruppen von G, so gilt: s ist ein Teiler von n, und s ist kongruent 1 modulo p. Zunächst folgt aus 1.) und 2.): Wenn G nur eine p-Syslow-Untergruppe besitzt, so ist diese ein Normalteiler (denn nach 2. sind die Konjugierten der p-Syslow-Untergruppe U wieder eine p-Syslowuntergruppe, also wieder gleich U, also ist U per definitionem ein Normalteiler). Du mußt also nur zeigen: Jede Gruppe der Ordnung 6 (bzw. 28) besitzt nur eine 3- (bzw. 7-)Sylow-Untergruppe. Dies geht ganz leicht mit 3.): Die Teiler von 6 sind 1,2,3,6, aber davon ist nur 1 kongruent 1 modulo 3. Die Teiler von 28 sind 1,2,4,7,14,28, aber davon ist nur 1 kongruent 1 modulo 7. |
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