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Beitrag |
    
sonja
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 20:41: | 
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1. Zeigen Sie, dass die Funktion f: R zugeordnet R,
f (x) = sin (3 x + 5) periodisch ist und geben Sie die Periode an.
2.Gegeben sei die Lösung einer harmonischen Schwingung x (t) =
A cos (wt + j). Zum Zeitpunkt t = O sei die Auslenkung x (t = 0) = A / Wurzel 2. Bestimmen Sie die Phase j so, dass die Bedingung erfüllt ist.
3.Benutzen Sie die Additionstheoreme, um folgende Beziehungen zu zeigen (x, y, z Element R):
a) sin (3x) = 3 sin (x) – 4 sin 3 (x)
b) cos (3x) = 4 cos3 (x) – 3 cos (x)
c) sin (x + y + z) = sin (x) cos (y) cos (z) cos (x) sin (x) cos (z) + cos (x) cos (y)
sin (z) - sin (x) sin(y) sin (z)
d) cos (x + y + z) = cos (x) cos (y) cos (z) – sin (x) sin (y) cos (z) – sin (x) cos (y) sin (z) – cos (x) sin (y) sin (z)
4.Bestimmen Sie alle x, Element , R für die gilt:
cos (2x) + 2 cos (x) = - 1
5.Die Funktionen arctan (x) und arcsin (x) hängen über die Beziehung arcsin
(f(x)) = arctan (x) zusammen. Bestimmen Sie die Funktion f (x). |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 10:36: |
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Hallo Sonja
3)Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du nur folgende Formeln
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin²(a)+cos²(a)=1
a) sin(3x)=sin(2x+x)
=sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x)
=sin(x+x)cos(x)+cos(x+x)sin(x)
=[sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)]cos(x)+[cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)]sin(x)
=2sin(x)cos²(x)+sin(x)cos²(x)-sin³(x)
=2sin(x)(1-sin²(x))+sin(x)(1-sin²(x))-sin³(x)
=2sin(x)-2sin³(x)+sin(x)-sin³(x)-sin³(x)
=3sin(x)-4sin³(x)
b)cos(3x)=cos(2x+x)
=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
=[cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)]cos(x)-[sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)]sin(x)
=cos³(x)-sin²(x)cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x)
=cos³(x)-sin²(x)cos(x)-2sin²(x)cos(x)
=cos³(x)-(1-cos²(x))cos(x)-2(1-cos²(x))cos(x)
=cos³(x)-cos(x)+cos³(x)-2cos(x)+2cos³(x)
=4cos³(x)-3cos(x)
c) sin(x+y+z)=sin((x+y)+z)
=sin(x+y)cos(z)+cos(x+y)sin(z)
=[sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)]cos(z)+[cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)]sin(z)
=sin(x)cos(y)cos(z)+cos(x)sin(y)cos(z)+cos(x)cos(y)sin(z)-sin(x)sin(y)sin(z)
d) cos(x+y+z)=cos((x+y)+z)
=cos(x+y)cos(z)-sin(x+y)sin(z)
=[cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)]cos(z)-[sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)]sin(z)
=cos(x)cos(y)cos(z)-sin(x)sin(y)cos(z)-sin(x)cos(y)sin(z)-cos(x)sin(y)sin(z)
4) cos (2x) + 2 cos (x) = - 1
<=> cos(x+x)+2cos(x)=-1
<=> cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)+2cos(x)=-1
<=> cos²(x)-sin²(x)+2cos(x)=-1
<=> cos²(x)-(1-cos²(x))+2cos(x)=-1
<=> cos²(x)-1+cos²(x)+2cos(x)=-1
<=> 2cos²(x)+2cos(x)-1=-1 |+1
<=> 2cos²(x)+2cos(x)=0
<=> 2cos(x)*(cos(x)+1)=0
=> cos(x)=0 oder cos(x)=-1
cos(x)=0 für x=(k+0,5)*pi (k € Z)
cos(x)=1 für x=2k*pi (k€Z)
Mfg K. |
sonja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 15:05: |
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Kannst du auch noch die 1,2 und 5??? Wäre echt super |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 16:58: |
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Hallo Sonja
Aufg.2)
x(t)=A*cos(wt+j)
x(0)=A/Ö2 eingesetzt in die erste Gleichung ergibt
A/Ö2=A*cos(w*0+j) |:A
1/Ö2=cos(j)
=> j=45°
Mfg K. |
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