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Kurvenschar und Diffgleichung

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Heiko
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 13:19:   Beitrag drucken

Hi,
Ich habe da ne knifflige Aufgabe. Über jede Lösungshilfe würde ich mich freuen. Hier die Aufgabe: Zu folgenden Kurvenscharen bestimme man dijenige Schar von Kurven, die sämtliche Kurven der gegeb. Schar orthogonal schneiden.
a.) y² = a*x (a in R)
b.) x*y = a (a in R)
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Brainstormer (Brainstormer)
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 14:43:   Beitrag drucken

Tach,

die Bestimmung von orthogonalen Trajektorien bei Kurvenscharen mit einem Parameter ist bei deinen Gleichungen eigentlich recht einfach:

y2 = a*x

zunächst muss man das ganze implizit ableiten und nach y' bzw. dy/dx auflösen:

2yy' = a <=> dy/dx = a/2y

nun ist y' ja die Steigung der Kurvenschar und die neue Steigung muss -1/y' sein daher lautet die zu lösende Gleichung:

dy/dx = -2y/a <=> ò dy/y = (-2/a)ò dx

<=>ln y = -2x/a + C <=> y = e(-2x/a + C)

das ist dann auch schon die Lösung. Ich glaube, dass du b) nach dem gleichen Verfahren selbst hinkriegst, wenn nicht sach bescheid.

MfG
Brainstormer
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Brainstormer (Brainstormer)
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 14:47:   Beitrag drucken

Mir ist gerade noch was eingefallen, wie man die Lösung noch einfacher schreiben kann, wenn man statt C zu schreiben ln C schreibt:

y = e(-2x/a + ln C) <=> y = C*e-2x/a
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 15:32:   Beitrag drucken

Hi Heiko,

Bei Deinen beiden Aufgaben geht es um die Ermittlung
der so genannten orthogonalen Trajektorien.
Dies ist eine Kurvenschar Tr mit der folgenden
Eigenschaft
Jede Kurve aus Tr schneidet jede Kurve der gegebenen
Schar Cu senkrecht.

a) Wir ermitteln die DGl. der gegebenen Schar Cu,
indem wir die Gleichung der Schar nach x ableiten
und den Scharparameter a eliminieren.
Ergebnis : 2 y * y ´ = a ………………………………...(1)
Scharparameter a = y ^ 2 / x aus der gegebenen
Gleichung der Schar in (1) eingesetzt, gibt
y ´ = y^2 / (2xy) = y / (2x) ………………………… ..(2)
als Dgl. der gegebenen Schar Cu
Nun kommt die Orthogonalität zum Zug.
Wir ersetzen in (2) y´ durch – 1 / y´ ‚ um eine
Dgl. der Schar Tr zu erhalten,
Resultat:
1 / y ´ = y / (2x).......................................................…..(3)
oder
2x* dx + y * dy = 0
Auflösung dieser Dgl. gibt :die gesuchte Gleichung
Der gesuchten Schar:
2 x ^ 2 + y ^ 2 = = c ^2 mit c als Scharparameter
Das ist die Gleichung einer Schar von ähnlichen
und ähnlich liegenden Ellipsen.
b) die Aufgabe geht ganz analog ; auf Wunsch wird eine
Lösung nachgeliefert.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 15:44:   Beitrag drucken

Hi Heiko,
Eine kleine Korrektur: in (3) fehlt ein
Minuszeichen wie du sicher selber
festgestellt hast.
Alles danach ist wieder richtig, so hoffe
ich wnigstens!

Gruss
H.R.Moser,megamath.

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