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Heiko
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 13:19: |
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Hi, Ich habe da ne knifflige Aufgabe. Über jede Lösungshilfe würde ich mich freuen. Hier die Aufgabe: Zu folgenden Kurvenscharen bestimme man dijenige Schar von Kurven, die sämtliche Kurven der gegeb. Schar orthogonal schneiden. a.) y² = a*x (a in R) b.) x*y = a (a in R) |
Brainstormer (Brainstormer)
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 14:43: |
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Tach, die Bestimmung von orthogonalen Trajektorien bei Kurvenscharen mit einem Parameter ist bei deinen Gleichungen eigentlich recht einfach: y2 = a*x zunächst muss man das ganze implizit ableiten und nach y' bzw. dy/dx auflösen: 2yy' = a <=> dy/dx = a/2y nun ist y' ja die Steigung der Kurvenschar und die neue Steigung muss -1/y' sein daher lautet die zu lösende Gleichung: dy/dx = -2y/a <=> ò dy/y = (-2/a)ò dx <=>ln y = -2x/a + C <=> y = e(-2x/a + C) das ist dann auch schon die Lösung. Ich glaube, dass du b) nach dem gleichen Verfahren selbst hinkriegst, wenn nicht sach bescheid. MfG Brainstormer |
Brainstormer (Brainstormer)
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 14:47: |
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Mir ist gerade noch was eingefallen, wie man die Lösung noch einfacher schreiben kann, wenn man statt C zu schreiben ln C schreibt: y = e(-2x/a + ln C) <=> y = C*e-2x/a |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 15:32: |
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Hi Heiko, Bei Deinen beiden Aufgaben geht es um die Ermittlung der so genannten orthogonalen Trajektorien. Dies ist eine Kurvenschar Tr mit der folgenden Eigenschaft Jede Kurve aus Tr schneidet jede Kurve der gegebenen Schar Cu senkrecht. a) Wir ermitteln die DGl. der gegebenen Schar Cu, indem wir die Gleichung der Schar nach x ableiten und den Scharparameter a eliminieren. Ergebnis : 2 y * y ´ = a ………………………………...(1) Scharparameter a = y ^ 2 / x aus der gegebenen Gleichung der Schar in (1) eingesetzt, gibt y ´ = y^2 / (2xy) = y / (2x) ………………………… ..(2) als Dgl. der gegebenen Schar Cu Nun kommt die Orthogonalität zum Zug. Wir ersetzen in (2) y´ durch – 1 / y´ ‚ um eine Dgl. der Schar Tr zu erhalten, Resultat: 1 / y ´ = y / (2x).......................................................…..(3) oder 2x* dx + y * dy = 0 Auflösung dieser Dgl. gibt :die gesuchte Gleichung Der gesuchten Schar: 2 x ^ 2 + y ^ 2 = = c ^2 mit c als Scharparameter Das ist die Gleichung einer Schar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen. b) die Aufgabe geht ganz analog ; auf Wunsch wird eine Lösung nachgeliefert. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 15:44: |
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Hi Heiko, Eine kleine Korrektur: in (3) fehlt ein Minuszeichen wie du sicher selber festgestellt hast. Alles danach ist wieder richtig, so hoffe ich wnigstens! Gruss H.R.Moser,megamath. |
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