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schlichi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 10:48: | 
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Hallo Leute!
Wie kann ich denn beweisen, daß die Bernstein-Polynome n-ten Grades eine Basis des R-Vektorraumes der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad kleiner oder gleich n sind?
Danke schon mal im voraus!
Schlichi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 23:00: |
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Hi Schlichi
In den Bernstein-Polynomen, benannt nach dem
russischen Mathematiker Sergej Natanowitsch Bernstein
(1880-1968 ),treten Binomialkoeffizienten n tief j auf,
die wir mit b(n,j) abkürzen.
Bekanntlich ist b(n,j) = n! / [j!*(n-j)!)]
Die Bernstein-Polynome seien mit
B(n,j,x ) bezeichnet und als das j-te Bernstein-Polynom
n-ten Grades angesprochen; es ist so definiert:
für eine natürliche Zahl n und j aus [0,1,2...,n] gilt:
B(n,j,x) = b(n,j) * x^j * ( 1 – x ) ^ (n-j).
Liegt x im abgeschlossenen Intervall [0,1],so ist das
Polynom nicht t negativ
und nimmt daselbst an der Stelle j /n sein
(einziges) Maximum an.
Für alle x gilt: sum [ B(n,j,x) ] = 1 ,
Summation über j von 0 bis n
Deine Aufgabe bezieht sich auf den wichtigen Satz:
Die Polynome {B(n,0),B(n,1),B(n,2)...,B(n,n)} sind
linear unabhängig und bilden daher eine Basis sämtlicher
Polynome n-ten Grades.
Eine solche Basis heisst Bernstein-Basis.
Wir werden die lineare Unabhängigkeit der genannten
Polynome mit Hilfe von Wronski-Determinanten
für die Beispiele n = 2, n=3, n=4 nachweisen, in dem
wir den so genannten W-Test durchführen
(dies darf nicht mit einer Wein-Probe verwechselt werden !).
Interessant ist, dass bei dieser Aufgabe ein polnischer
Mathematiker mithilft: Josef Maria Wronski (1778- 1853)
Fortsetzung demnächst !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
schlichi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 21:20: |
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Hallo Megamath!
Danke für den kleinen Einstieg! Das macht ja schon mal Lust auf mehr ;)
Schlichi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 11:39: |
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Hi Schlichi,
Zur Fortsetzung benötigen wir den Begriff der
WRONSKI-DETERMINANTE.
Gegeben sind n Funktionen
y1(x), y2(x)..., yn(x) , welche im Intervall (a,b)
(n-1) - mal stetig differenzierbar sind.
Wir stellen eine (n,n)-Matrix M her:
In der ersten Zeile stehen als Elemente
die n Funktionen selbst in der gegebene Reihenfolge,
in der zweiten Zeile der Reihe nach die
ersten Ableitungen dieser Funktionen,
in der n-ten Zeile, der letzten Zeile also ,
die (n-1) - ten Ableitungen der gegebenen
Funktionen in der vorgegebenen Reihenfolge.
Die Determinante der Matrix M ist die
Wronski-Determinante des Funktionensystems; also
W = W(x) = det (M).
Es gilt der bemerkenswerte Satz:
Wenn die Funktionen y1(x),y2(x) ...,yn(x) in (a,b)
linear abhängig sind, so ist W(x) identisch Null.
Berechnet man für die Bernstein –Polynome
n-ten Grades jeweils die Wronski – Determinante,
so ergibt sich das folgende (überraschende) Resultat:
Für alle n ist W(x) gleich einer nur von n abhängigen
positiven Zahl z = z (n) .
Somit sind die Bernstein- Polynome bei festem n
linear unabhängig und bilden eine Basis des Raums
aller Polynome n-ten Grades.
Die ersten Werte von z(n) sind:
z(1) = 1,berechnet mit einer Wronski-Det. 2.Ordunng
z(2) = 4,berechnet mit einer Wronski-Det 3.Ordnung
z(3) = 108,berechnet mit einer Wronski-Det 4.Ordnung
u.s.w.
MfG.
H.R.Moser,megamath. |
schlichi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 20:25: |
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Hi Megamath!
Ein dickes Dankeschön für deine Lösung. Werd mich gleich mal dransetzen und sie überprüfen ;)
Ciau,
Schlichi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 22:32: |
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Hi schlichi,
Deine Frage zieht einen Rattenschwanz nach sich.
Wir wollen einen Satz aus der Determinantenlehre
kennen lernen, der für weitere Betrachtungen der
Bernstein –Polynome dienlich sein wird.
Die Elemente einer gegebenen Determinante D
seien differenzierbare Funktionen in x, so dass
D selbst eine Funktion D = D(x) darstellt.
Wir fragen nach ihrer ersten Ableitung.
Um die Idee zu fixieren , nehmen wir eine
Determinante 2.Ordnung:
D(x) =
1.Zeile y1(x) ...y2(x)
2.Zeile y3(x)…y4(x)
Die Ableitung D´(x) stellt sich dann als Summe
zweier Determinanten dar :
D´(x) = D1(x) + D2(x) ,wobei:
D1(x)
1.Zeile y1´(x) ..y2´(x)
2.Zeile y2(x)….y4(4)
D2(x)
1.Zeile y1(x)….y2(x)
2.Zeile y3´(x)…y4´(x)
Ist D(x) eine Determinante n-ter Ordnung, so kann
die Ableitung D´(x) in analoger Weise
als eine Summe von n Determinanten n-ter Ordnung
geschrieben werden.
Im k-ten Summand stehen in der k-ten Zeile die
abgeleiteten Funktionen der k-ten Zeile von D,
ansonsten sind die anderen Zeilen unverändert.
Dieser Satz leistet ausserordentlich gute
Dienste bei der Beweisführung ,dass die
in Frage stehenden Wronski-Determinanten
konstant sind
Leitet man eine solche Determinanten mit obigem
Rezept ab, so erhält man in der Summe Determinanten,
in welchen je in zwei Zeilen übereinstimmen und daher,
wie man so schön sagt, verschwinden ;
übrig bleibt eine relativ einfache Determinante, die ebenfalls
verschwindet.
Ableitung D´(x) = 0 führt auf D(x) = konst.
Setze x = 1 um zu zeigen, dass diese Konstante nicht null ist.
Wir wählen den Fall n = 2
j =0,1, 2 ; es gibt drei Bernstein – Polynome yo,y1,y2
yo(x) = ( 1- x ) ^ 2…………y1(x) = 2x (1 - x)……. y2 (x) = x ^ 2
yo´(x) = - 2 + 2x …………. y1´ (x) = 2 – 4x ……… y2´ (x) = 2 x
yo´´(x) = 2 ………………….y1´´(x) = - 4………… y2´´(x) = 2
Aus dieser Tabelle berechnen wir die Wronski –Determinante;
es kommt:
W(x) = 4
Versuche, nach dem eingangs erwähnten Determinantensatz,
zuerst D´ (x) zu berechnen,
sodann bestimme D(1) !
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 08:35: |
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Hi schlichi,
Wir behandeln noch den Fall n = 3
j = 0, 1, 2, 3 ; es gibt vier Bernstein – Polynome yo,y1,y2,y3
yo(x) = ( 1- x ) ^ 3…y1 (x) = 3x(1-x)^2… .y2 (x) =3x^2(1-x)….y3 = x^3
yo´(x) = -3(1-x) ^2… y1´ (x) = 3-12x+9x^2 .y2´ (x) = 6x – 9 x^2…y3´ = 3x^2
yo´´(x) = 6-6x……… y1´´ (x) = -12 +18x…..y2´´ (x) = 6- 18x…….y3´´ = 6x
yo´´´(x) = - 6 .........…..y1´´´(x)= 18…………..y2´´´(x) = -18………..y3´´´ = 6
Aus dieser Tabelle berechnen wir die Wronski –Determinante
als eine Determinante vierter Ordnung;
es kommt:
W(x) = 108
Versuche, nach dem früher erwähnten Determinantensatz,
zuerst D´ (x) zu berechnen,
sodann bestimme D(1) !
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath. |
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