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Beitrag |
    
Miriam (Babyelefant)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 06:57: | 
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Kann mir bitte mal dabei jemand helfen?
Beweise die folgende Aussage mit vollständiger Induktion und schreibe dabei sorgfältig auf, wie man lückenlos argumentiert:
Für jedes q E IR und für alle n E IN(inkl. 0) gilt Summe von k=0 bis n über q^k= (1-q^(n+1))/1-q
Wieso kann man damit die Aussage tatsächlich für alle n E IN(inkl. 0) beweisen?
Könnte man eine solche Induktion auch für Aussagen über reelle Zahlen machen? Begründe!
Wäre echt lieb, wenn mir jemand helfen könnte. |
javvie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 10:35: |
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Beweis (durch vollst.Induktion):
Induktionsverankerung
(heißt auch Induktionsanfang):
Sei n = 0.
Dann gilt: Summe von k = 0 bis 0 über q^k = q^0 = 1.
Ferner erhält man für die rechte Seite mit n = 0: (1-q^1)/(1-q) = 1.
Die Aussage ist damit für n = 0 gezeigt.
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für n.
Induktionsschluß: Zu zeigen ist, daß die Aussage, wenn sie für n gilt, auch für n+1 gilt.
Beweis:
Summe von k = 0 bis n+1 über q^k
= Summe von k = 0 bis n über q^k + q^n+1) (n+1-ter Summand rausgenommen)
= (1-q^(n+1))/1-q + q^(n+1) (nach Induktionsvoraussetzung)
= (1-q^(n+2))/1-q (nach Gleichnamigmachen und Zusammenfassen)
Damit ist die Aussage für (n+1) gültig, wenn sie für ein beliebiges n gültig ist.
Da die Aussage für n = 0 gilt, läßt sich von dort aus über Schluß auf (n+1) jedes beliebige n erreichen und die Aussage ist somit für alle n wahr.
Für reelle Zahlen läßt sich eine solche Aussage nicht machen, da eine reelle Zahl keinen "Nachfolger" wie eine natürliche Zahl hat. Zwischen zwei reellen Zahlen gibt es immer noch unendlich viele weitere reelle Zahlen, so daß ein Schluß von einer Zahl auf ihren Nachfolger unmöglich wäre. |
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