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Beitrag |
    
Pit
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 15:42: | 
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Hallo,
Schon wieder habe ich Probleme mit eine Dgl.
Sie lautet:
x * y ´ = (1-y) / (1-x) – 1
Ich bitte um Hilfe
Vielen Dank !
Pit |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 09:20: |
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Hi Pit ,
Zur Lösung Deiner Dgl. versuchen wir einen Ansatz
mit der neuen Funktion z = z(x) = x * y,
also y = z / x ; es folgt (Ableitung nach x)
x * y ´ + y = z ´
Aus der gegebenen Dgl. entsteht
nach gehöriger Vereinfachung die inhomogene lineare
Dgl. erster Ordnung
(1 - x ) * z’ = - z + x.
Lösung der homogenen Gleichung durch Separation
der Variablen:
dz / z = -1 / ( 1-x ) * dx
daraus ln z = ln [ c*(1-x ) ] oder
z = c * ( 1 – x )
Um die allgemein Lösung der inhomogenen Gleichung
zu erhalten, setzen wir die Methode der Variation der
Konstanten c ein; es gelte c = c(x), also z = c(x) * (1-x )
und z ´ = - c + c´ * ( 1 - x ) .
Setzen wir dies in die inhomogene Gleichung ein,
so kommt nach einer Vereinfachung:
c ´ = x / ( 1 – x ) ^ 2
Für die Integration führen wir noch die Substitution
1 - x = t, also dx = - dt aus.
Die Integration liefert
c = - int [(1 - t) / t ^ 2 * dt ] = 1 / t + ln t + k
mit der Integrationskonst. k.
Damit entsteht als Lösung Deiner Diffgl.:
y = 1 / x * [ 1 + ( 1 – x ) * ln ( 1 – x ) + k * ( 1 – x ) ]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 09:53: |
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Hallo Pit,
x * y ´ = (1-y) / (1-x) – 1
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Wir lösen die Dgl wieder nach dem bekannten Kochrezept:
y' + p(x)*y = g(x)
Man bildet:
µ(x) = exp(ò p(x) dx)
und erhält die Lösung:
y(x) = [ò µ(x)*g(x) dx + C] / µ(x)
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Dies wollen wir nun für unser Beispiel durchführen.
(Ich habe alle Integrale mit dem Computer ausgewertet)
Wir bringen zu nächst unsere Dgl auf die Form:
y' + 1/[x(1-x)]*y = (x-1)/[x(1-x)]
es entsprechen also:
p(x) = 1/[x(1-x)] und g(x) = (x-1)/[x(1-x)]
wir bilden:
ò p(x) dx = ò 1/[x(1-x)] dx = ln(x) - ln(x-1)
µ(x) = eln(x)-ln(x-1) = x/(x-1)
ò µ(x)*g(x) dx = ò x/(x-1)*(x-1)/[x(1-x)] dx = ò 1/(1-x) dx = -ln(1-x)+C
und schließlich:
y(x) = -[ln(1-x)+C]/[x/(x-1)] = -(1/x)*{(x-1)*[ln(1-x)+C]}
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Ich sehe gerade, dass unser Freund H.R.Moser, megamath die Lösung schon gefunden hat.
Ich poste meine Lösung trotzdem auch noch, weil sie einen ganz anderen Lösungsweg geht.
Auf den ersten Blick stimmen die beiden Ergebnisse nicht überein. Da kannst du nachrechnen, wo ein Fehler vorliegt.
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