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Real-und Imaginärteil

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chrissie
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 13:59:   Beitrag drucken

a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von (3+2i)^3 und (1+i)/(2-3i)

b) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, Betrag und die konjugiert-komplexe Zahl sowie eine Darstellung in Polarkoordinaten
z=(-2+3i)/(3-2i)

c)Berechnen Sie i^n für alle neNo

Wär sehr dankbar wenn ihr mir schnell helft
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 08:32:   Beitrag drucken

Hi chrissie,

a) z ^ 2 = (3+i2)^2 = 9 + i12 - 4 = 5+i12
z ^3 = (5+i12)(3+i2) = 15+i36+i10-24 =
-9 + i 46, Re(z^3) = -9 , Im(z)= 46
°°°°°°°°°
Wir erweitern den Bruch mit der
konjugiert komplexen Zahl des Nenners,
d.h. mit2 + i3:
z = [(1+i1)(2+i3)] / [(2-i3)(2+i3)] =
= [2+i2 +i3-3] / [4+9] = (-1+i5) / 13 =
-1/13 + i 5/13
Re(z) = -1/13, Im(z) = 5/13.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b) Erweitern mit 3+i2:
z = [(-2+i3)(3+i2)] / [(3-i2)(3+i2)] =
[-6+i9-i4-6]/[9+4] = -12/13 + i 5/13

Betrag von z = r =abs(z) =
wurzel{(-12/13)^2 + (5/13)^2} =
wurzel {(144 + 25) /169)} = 1

konjugiert Komplexe Zahl
z ‘ = -12/13 – i 5/13.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Polarkoordinatendarstellung:
z = r * [cos(phi) + i sin(phi) ] mit
r =1 , tan (phi) = - 5/12 , phi ~157,38°
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

(i1)^n = cos(n*Pi/2) + i sin(n *Pi/2)
= 1 für alle durch 4 teilbaren n
= i1 für alle n , welche bei der Division
durch vier den Rest 1 lassen
= - 1.........Rest 2
= - i1.........Rest 3

MfG.
H.R.Moser,megamath.

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