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Alicia
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 16:36: | 
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Hallo!
Habe ein grosse Problem,dass mich vielleicht die Klausurzulassung kosten könnte(aufgrund zu weniger Punkte)
Also, wir haben eine Funktion X: 0 => M
Xi^(-1):P(O) => P(M) sei die Bildfunktion und Xi :P(M) => P(O), X(A):={X(w) | w aus A} die Urbildfunktion.
Wie zeigt man nun folgende Äquivalenz ?
X ist injektiv <=> X^(-1) o X(A)=A für alle A aus der Potenzmenge von O.
Hinweis: Das obige P steht auch für die Potenzmenge.
Bitte helft mir!
Danke,
Alicia |
tyll (Tyll)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 18:38: |
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Hi Alicia!
Sei A aus der Potenzmenge von O.
"<=" Sei
(*) X-1(X(A)) = A.
Z.z.: "x,y e A mit X(x) = X(y) gilt: x = y.
Seien also x,y e A mit
(**) X(x) = X(y).
Setze m:=X(x) Wegen (*) ist X-1(m) in A. Da X-1 eine Abbildung ist, gibt es ganeu ein El a aus A mit X-1(m) = a. Da X-1 die Urbildfunktion ist, gilt O.B.d.A. a=x. Wegen (**) ist dann
X-1(X(x))= x = a = X-1(m) = X-1(X(y)) = y.
"=>" Sei X inj.
Z.z.: " A e P(A): X-1(X(a)) = A.
Sei a aus A. Dann ist X(a) aus X(A) = {y aus M| Es ext. ein a aus A mit y=X(a)}. Insbesondere ist X surj. auf X(A), also gibt ers ein a' aus A mit X-1(a) = a'. Aus der Inj. von X folgt dann a = a' Also gilt X-1(X(A)) = A
Gruß
Tyll |
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