| Autor |
Beitrag |
    
Sicksycle (Sickcycle)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 22:10: | 
|
Kann mir jemand behilflich sein? Danke im Vorab |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 07:45: |
|
Hi Sicksyde,
Es liegt eine Diophant-Gleichung ersten Grades der Form
a x + b y = c mit a = 461, b = 357, c = 1 vor ;
a und b sind teilerfremd.
Die Gleichung hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen x , y.
Wir werden durch ein Verfahren, das auf Euler zurückgeht
(„Absonderung des grössten Ganzen“,
ähnlich zum Euklid –Algorithmus)
eine spezielle Lösung xo, yo suchen und finden.
Die allgemeine Lösung stellt sich dann so dar:
x = xo + n * b
y = yo - n * a
wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.
Resultat:
xo = 230 , yo= - 297
x = 230 + n * 357 , y = - 297 – n * 461
Für n = 1 kommt x = 587, y = -758 u.s.w.
Eine Herleitung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 08:50: |
|
Hi Sicksyde,
Hier die versprochene Herleitung.
Verfahren zur Ermittlung einer partikulären
Lösung xo, yo der Diophant-Gleichung
ersten Grades.
Man löst die Gleichung nach derjenigen
Unbekannten x oder y auf,
welche den kleinern Koeffizienten hat..
Dann zerlegt man den Term in einen ganzen Teil
und einen gebrochenen Rest.
Man postuliert, dass dieser Rest ganzzahlig sei;
damit gewinnt man eine neue Diophant-Gleichung,
deren Koeffizienten dem Betrage nach kleiner sind.
Das Verfahren wird bis zu einem
guten Ende fortgesetzt.
Ausführung
y = [1 - 461 x ] / 357 = - x + [1-104 x ] / 357
Der zweite Summand sei r1 ; die Forderung, dass
r1 ganzzahlig sein muss, führt auf die neue
Diophant – Gleichung
357 * r1 +104 x = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Auflösung nach x:
x = [1 - 357 r1] / 104 = - 3 r1 + [1 – 45 r1] / 104
= -3 r1 + r2
neue Gleichung:
45 r1 + 104 r2 = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Auflösung nach r1:
r1 = [ 1 – 104 r2] / 45 = - 2 r2 + [1 – 14 r2 ] / 45
= - 2 r2 + r3
neue Gleichung:
14 r2 + 45 r3 = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Auflösung nach r2:
r2 = [1 – 45 r2 ] / 14 = - 3 r3 + [ 1 – 3 r3 ] / 14 = - 3 r3 + r4
neue Gleichung:
3 r3 + 14 r4 = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°
Auflösung nach r3:
r3 = [ 1 – 14 r4 ] / 3 = - 4 r4 + [1 – 2 r 4 ] / 3 = - 4r4 + r5
neue Gleichung:
2 r4 +3 r5 = 1
°°°°°°°°°°°°°°
Auflösung nach r4:
r4 = [1- 3 r 5 ] / 2 = - r5 + [1 - r5] / 2 = - r5 + r6
neue Gleichung:
r5 + 2* r6 = 1
°°°°°°°°°°°°°°
Diese letzte Gleichung hat offensichtlich die Zahlen
r5 = -1 , r6 = 1 als Lösung.
Im Krebsgang(rückwärts) findet man:
r4 = 2 ; r3 = - 9 ; r2 = 29; r1 = - 67; x = 230 ; y= - 297.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG.
H.R.Moser,megamath. |
Sicksycle (Sickcycle)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 12:59: |
|
DANKE! Auch wenn ich das ziemlich abgefahren find und ich nicht weiß, was das mit unserer Vorlesung zu tun hat |
|
