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Miriam (Mmemim)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 15:50:   Beitrag drucken

Hallo Ihr!

Hier wieder mal eine Aufgabe:
Beweisen Sie Summenzeichen (obendrüber steht n unten drunter steht k=0) 2^k*(n über k) = 3^n
Ich denke mal man muß es mittels vollständiger Induktion beweisen!

Hoffentlich könnt ihrs!
DANKE!
Miriam
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Rudy
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Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 22:55:   Beitrag drucken

Hallo Du!

Herzlichen Glückwunsch zur Wahl der Überschrift!
Viele Hilfesuchende werden später daran sofort erkennen, worum es hier geht!
Auch bei späterer Lehrtätigkeit ist so ein treffender Titel vor allen anderen zu bevorzugen, um Schülern ein gutes Beispiel zu geben!

Siehe dazu auch hier!

Die Gültigkeit folgender Behauptung ist zu zeigen!

Sn k=02k (nk) = 3n


Man kann sie mittels vollständiger Induktion beweisen!


n=0:

linke Seite:
S0 k=02k (0k) = (00) = 1
rechte Seite:
30 = 1

Beide Seiten ergeben denselben Wert!


Es gilt:
(n+1k) = (nk) + (nk-1)

Damit wird aus der linken Seite L der Behauptung für n+1:

L = Sn+1 k=02k (n+1k)
= Sn+1 k=02k (nk) + Sn+1 k=02k (nk-1)

Abspaltung des Summanden für k=n+1 von der linken Summe!
Abspaltung des Summanden für k=0 von der rechten Summe!

= 2n+1 (nn+1) + Sn k=02k (nk) + 20 (n+10-1) +Sn+1 k=12k (nk-1)

2n+1 (nn+1) = 0 und 20 (n+1-1) = 0, da (aa+1)=0 ist!
und (a-1) = 0 ist!


L = Sn k=02k (nk) + Sk=n+1 k=12k (nk-1)

Indexverschiebung: setze k=m+1 bei der zweiten Summe!

L = Sn k=02k (nk) + Sm+1=n+1 m+1=12m+1 (nm+1-1)

Es gilt: 2m+1 = 2m*2!

L = Sn k=02k (nk) + 2*Sm=n m=02m (nm)

Nach Induktionsvoraussetzung ist sowohl Sn k=02k (nk)=3n als auch Sm=n m=02m (nm) =3n

Also gilt
L = 3n + 2*3n
L = 3n+1

Hiermit wurde gezeigt, dass mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung Sn k=02k (nk)=3n
auch die Behauptung für n+1:

Sn+1 k=02k (n+1k)=3n+1
folgt!

Hoffentlich ist es zu gebrauchen!
Nichts zu danken!
Hat Spaß gemacht!
MfG!
Rudy!
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steffi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 19:41:   Beitrag drucken

Hallöchen!
Ich brauche dringent eure Hilfe ( und möglichst schnell..)!!!
Also dann komme ich mal zur Sache:
Sei D eine Teilmenge von K, die nicht beschränkt ist. Man zeige: Es gibt eine Folge {Xn}n>1 von Elementen aus D mit |Xm-Xn|>1 für alle m ungleich n.
Man zeige auch, dass eine folgenkompakte Teilmenge von K beschränkt ist.

Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet...
Liebe Grüße
Steffi
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A
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 09:19:   Beitrag drucken

Hallo steffi,
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