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stephan
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 21:35: | 
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Hallo, brauche ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe:
(a) Zeigen sie, daß es auf dem Zahlenstrahl einen Punkt P gibt, der die reelle Zahl sqr3 repräsentiert, und zeigen sie ferner, daß dieser Punkt nicht mit einer Bruchzahl benannt werden kann. (sqr2 läßt sich nicht als Bruch m/n darstellen, diese Idee ist hier auf sqr3 zu übertragen)
(b)Übertragen Sie diese Ideen und zeigen sie, daß auch sqr18 irrational ist, d.h. nicht durch einen Bruch aus zwei natürlichen Zahlen darstellbar ist.
Vielen Dank schon mal im Vorraus, wäre echt nett, wenn mir wer helfen kann,
Stephan |
J
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 09:35: |
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Zu a)Es gibt viele Möglichkeiten (je nach vorkenntnissen) ich würde zunächst ein rechteck mit dem flächeninhalt 3 zeichen und diese dann in ein flächengleiches quadrat verwandeln. Dessen Seite lässt sich mit dem zirkel auf den zahlenstrahl übertragen
2. Teil: Beweis durch widerspruch.
Annahme: es gibt einen vollständig gekürzten Bruch p/q mit dem wert wurzel(3)
dann gilt:
p²/q² = 3
<=> p² = 3q²
daraus folgt: p² ist durch 3 teilbar
daraus folgt: p ist durch 3 teilbar
Es gibt also eine natürliche zahl r mit 5= 3*r
damit ist dann p² = (3r)²
und aus p² = 3q²
wird: (3r)² = 3q²
<=> 9r² = 3q²
<=> 3r² = q²
daraus folgt: q² ist durch 3 teilbar.
daraus folgt: q ist durch 3 teilbar
Das ist aber ein Widerspruch zu der annahme, dass der bruch p/q vollständig gekürzt war.
Es gibt also keinen vollständig gekürzten Bruch p/q mit dem wert wurzel(3)
zu b) kurze beweisskizze:
p²/q² = 18
<=> p² = 18 q²
<=> p² = 2*(3q)²
analog zu dem bekannten Beweis, dass wurzel(2) nicht rational ist, zeigt man nun, dass p und 3q beide durch 2 teilbar sind. 3q ist aber nur durch 2 teilbar, wenn q durch 2 teilbar ist. also ergibt sich wiederum der widerspruch, da p und q nicht vollständig gekürzet sein konnten.
Gruß J |
stephan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 16:51: |
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Danke, stephan |
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