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Beitrag |
    
T2x
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 22:36: | 
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Hi,
wir sollen eine Summenformel herleiten für
Die Summe von k=1 bis n über k^2.
Dabei sollen wir ohne vollständige Induktion arbeiten.
Hat irgendeiner ne Idee wie man das machen könnte.
Das Ergebnis ist 1/6*n*(n+1)*(2*n+1) oder anders geschrieben: 1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6
Bitte helft mir |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 23:07: |
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Hi T2X ,
Es gibt eine sehr hübsche, elementare Herleitung
der Summenformel für die Quadratzahlen, die ich Dir
gerne vorführe.
Ausgangspunkt sind sinnigerweise die Kubikzahlen
Wir schreiben n Zeilen an und addieren alle linken
und alle rechten Seiten.
Die Zeile Nummer j sieht so aus:
j ^ 3 = [1+(j-1)] ^3 = 1 + 3* (j-1) +3*(j-1) ^ 2 + (j-1 )^ 3
für j = 1,2…n
also :
1 ^ 3 = 1
2 ^ 3 = [1+1] ^3 = 1 + 3 * 1 + 3*1 ^ 2 + 1^ 3
3 ^ 3 = [1+2] ^3 = 1 + 3 * 2 + 3*2 ^ 2 + 2^ 3
4 ^ 3 = [1+3] ^3 = 1 + 3 * 3 + 3*3 ^ 2 + 3^ 3
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
n ^ 3 = [1+(n-1)] ^3 = 1 + 3* (n-1) +3*(n-1) ^ 2 + (n-1 )^ 3
Addiert man alle Zeilen und schreibt für die gesuchte Summe S(n),
also S(n) = 1^2+2^2 +3^2 +……….+n^2, so kommt ,
indem sich einige wesentliche Summanden wegheben:
n^3 = n*1 +3*[1+2+...+(n-1)] +3* S(n-1)
In der eckigen Klammer steht die Summe s(n-1) der natürlichen Zahlen
von 1 bis n-1;bekanntlich gilt s(n-1) = ½ * n*(n-1);
setzt man dies ein und löst nach S(n-1) auf, so kommt
:
S(n-1) = (2 n ^ 3 -3 n^2 +n) / 6 = [ 2 n*(n-1)*(n-1/2)] / 6 oder
S(n-1) = [n*(n-1)*(2n-1)] / 6 , also S(n)= [n*(n+1)*(2n+1)] / 6
w.z.z.w.
MfG.
H.R.Moser,megamath |
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