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Beitrag |
    
Koenigsspieler
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 21:04: | 
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Gegeben seien n+1 verschiedene Stellen z index 0,...., z index n e C und n+1 beliebeige Werte w index 0,...., w index n e C. Zeigen Sie: Es gibt eindeutig bestimmte und sukzessiv berechenbare ( geben Sie die Rekursionsvorschrift an) Zahlen c index 0,......, c index n e C, so dass das Polynom höchstens n-ten Grades
P(z)= c index 0 + Summe von k=0 bis n-1 [c index k+1(z-z index 0)....(z-z index k)
die Interpolationseigenschaft P(z index k) = w index k für k= 0,....,n besitzt.
Wer kann mir helfen? |
Axl (Axl)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 15:22: |
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ok. Dann werd ichs mal versuchen.
Im Grunde ist es ganz einfach wenn du die Aufgabe halbwegs verstanden hast.
Interpolation ist eine direkte Approximation, d.h. mal angenommen man hat eine komplizierte Funktion bei denen man nur bestimmte Werte (wo,.....,wn) zu den dazu ghörigen Stützstellen (zo,.....,zn) kennt und man andere Funktionswerte bestimmen will, dann nutzt man dazu z.B. ein Polynom welches die Interpolationsbedingung P(zk)=wk erfüllt.
Man legt das Polynom als Kurve durch die Punkte (zk,wk).
Man soll zeigen das die ck eindeutig berechenbar sind und dafür eine Rekursionsgleichung angeben.
Ok.
P(z)=c0+Sn-1 k=0ck+1(z-z0)....(z-zk)
=c0+c1(z-z0)+c2(z-z0)(z-z1)+.......+cn-1(z-z0).....(z-zn-1)
Also ist P(z0)=c0=w0
Seien nun schon c0,.....,ci-1 bekannt, dann ist P(zi)=c0+Si-1 k=1ck(zi-z0).....(zi-zk-1+ci(zi-z0).....ci(zi-zi-1).
Diese Gleichung ist eindeutig lößbar, denn (zi-z0).....(zi-zi-1)¹0.
Die Brechnung der ck führt auf ein lineares Gleichungssystem, das eindeutig nach Gauß lösbar ist, denn es bestitzt k Zeilen und k Unbekannte.
P(z0)=c0=w0
P(z1)=c0+c1(z1-z0)=w1
P(z2)=c0+c1(z2-z0)+c2(z2-z0)(z2-z1)=w2
.
.
.
P(zk)=c0+c1(zk-z0)+....+ck(zk-z0)....(zk-zk-1)
Ok. Die Rekursionsgleichung steckt in dem Gleichungssytem und in der oberen Aussage.
Hoffe konnte Dir helfen. Ich werde es jedenfalls so abgeben.
Bye Axl |
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