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Beitrag |
    
Andrea Esser (Dree81)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:08: | 
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Wie beweise ich mit vollständiger Induktion folgende Aufgabe ?
für alle n E N gilt: 7|8(hoch n)-1
Bitte helft mir, ich verzweifel!
Danke schon mal im voraus |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:44: |
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n=1 : 81-1=7 und 7 teilt 7
n->n+1
8n+1-1 = 8*8n-1 = 8*(8n-1)+7
beide Summanden sind durch 7 teilbar, also auch die Summe selbst. |
Andreas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:54: |
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Hi Andrea!
Hab ich die Fragestellung richtig verstanden?
8n-1 ist immer durch 7 ohne Rest teilbar?
OK
Induktionsanfang:
Gilt die Aussage für n=1?
81-1=7, 7 ist durch 7 teilbar.
Für n=1 ist die Ausssage richtig.
Induktionsschritt:
Wir setzen voraus, dass die Aussage für n=k
richtig ist:
7s=8k-1 ,s E N
Das Gleichsetzen mit 7s bedeutet, dass der Term
das Siebenfache einer natürlichen Zahl, und
somit ohne Rest durch sieben teilbar ist.
8k+1-1=8*8k-1-7+7
=8*8k-8+7=8*(8k-1)+7
Für 8k-1 setze ich jetzt 7s ein:
=8*7s+7=56s+7=7*(8s+1)
Aus der Tatsache, dass man aus diesem Term
7 ausklammern kann, kann man auf seine
Teilbarkeit durch 7 schließen.
Somit ist 8n-1 durch 7 teilbar. q.e.d
Ciao, Andreas |
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