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Irrationalität beweisen

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Manuela
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 15:34:   Beitrag drucken

Zeigen Sie, dass Wurzel aus 2 +Wurzel aus 3 irrational, aber Wurzel 2, Wurzel 3 und Wurzel 2+Wurzel3 algebraisch sind. (Eine Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms anx hoch n +....+a1x hoch1 +a0 (n größer gleich 1, an ungleich 0, ai E Z) ist)
Danke!!!
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 17:36:   Beitrag drucken

Hi,

x := sqr(3) + sqr(2);
y := sqr(3) - sqr(2);

x*y = 3 - 2 = 1; => y = 1/x
x + y = 2sqr(3); => x+y irrational
damit ist z:= x + 1/x irrational
wäre nun x rational, müsste es z auch sein.
=> x ist irrational

(x - sqr(2))^2 = 3;
=> 2x*sqr(2) = x^2 - 1;
=> 8x^2 = (x^2 - 1)^2;
=> x^4 - 10x^2 + 1 = 0;

man überlege sich auch:
18^1/3 + 12^1/3 ist irrational
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 17:39:   Beitrag drucken

Manuela:

Vorschlag:(1) Nimm an, dass sqrt(2)+sqrt(3) = m/n
mit ganzen m,n. Isoliere sqrt(3), quadriere
und isoliere sqrt(2). Es ergibt sich ein
Widerspruch zur Irrationalitaet von sqrt(2).

(2) Eine algebraische Gl. fŸr x:=sqrt(2)+sqrt(3)
erhaeltst du wie folgt: (x-sqrt(2))^= 3,
isoliere den Term mit sqrt(2) und quadriere
erneut.

mfg

Hans
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Manuela
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Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 16:16:   Beitrag drucken

Manuela:Vielen Dank!!!!

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