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Nadine (Hope)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 15:20: | 
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Hab ein Problem Hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen:
Zeigen sie ( Mit Hilfe der Winkelfunktion), dass die Seitenlänge eines regulären 2n-Ecks im Kreis aus der des rugulären n-Ecks vermöge der Beziehung
S2n = 2-der Wurzel aus 4-sn^2 (und aus diesem ganzen Term noch mal die Wurzel) hervorgeht.
Danke Nadine |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 10:51: |
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Hi Nadine,
Die Aufgabe lässt sich mit einfachen Mitteln
der Planimetrie lösen.
Wir benötigen keine Trigonometrie, sondern
bloss den Satz von Pythagoras und den Kathetensatz.
Zuerst stellen wir eine Handskizze mit detaillierten
Angaben her.
Ausgangspunkt ist ein gleichschenkliges Dreieck
OAB ; der Winkel phi an der Spitze O ist der n-te Teil
des Winkel 360°, also 60° für n = 6 beim regulären 6.Eck
oder 30° für n = 12 beim regulären 12-Eck.
Die Basis AB des Dreiecks stimmt mit der Seitenlänge
s (n) des n-Ecks überein.
Der Kreis k mit Mittelpunkt O und Radius R= OA= OB
ist zugleich der Umkreis des n-Ecks.
In diesem Kreis zeichnen wir den Durchmesser ,
welcher zur Basis AB senkrecht steht
Dieser Durchmesser schneidet AB im Punkt F
und den Kreis k in den Punkten G und H ;
die Reihenfolge dieser ausgezeichneten Punkte
auf diesem Durchmesser ist G,F,O,H und keine andere.
Bezeichnungen
R = OA = OB = OG: Umkreisradius des n-Ecks
r (n) = OF : Inkreisradius des n-Ecks
s (n) = AB : Seite des n-Ecks, das dem Kreis mit dem Radius R
... ...................einbeschrieben ist
Beachte:
Die Masszahl s (2n) der Strecke AG stimmt mit der Seite
des regulären 2n-Ecks überein, welches denselben Umkreis k hat
wie das reguläre n-Eck
Wir haben nun die Aufgabe, s(2n) aus R und s (n) zu berechnen
Nach Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck OFA gilt:
[ r(n) ] ^ 2 = R^2 – ¼ * [ s(n) ] ^ 2……………………………(1)
Nach dem Satz von Thales ist das Dreieck GAH bei A rechtwinklig
Wir benützen den Kathetensatz
(Kathete AG = s(2n), Hypotenuse GH = 2 R,
Hypotenusenabscnitt GF = R – r (n) ) ,
nach welchem gilt:
s(2n) ^ 2 = 2 R * [R – r (n)]…………………………………...(2)
Aus (1) und (2) folgt:
[s(n)] ^2 = 2 R * [ R – r(n) ] = 2 R*[R- wurzel{R^2 – ¼ *(s(n) ^2 }]=
= 2 R ^ 2 – R* wurzel{ 4 * R ^ 2 - (s(n)) ^ 2 } w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
fragezeichen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 11:24: |
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ich hätte mal gewusst wie man auf die zweite Gleichung kommt.
und muss am ende nicht
s(2n) ^ 2 = 2 R * [R – r (n)]
statt
[s(n)] ^2 = 2 R * [ R – r(n) ]
stehen???????????????? |
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