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Martin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 13:24: | 
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Hi... ich hab heut eine eigentlich einfache DGL als Aufgabe bekommen, aber ich hab keine Ahnung wie ich die lösen soll...
xy' = y+x-1+ 1/(1+x)
kann mir dabei vielleicht jemand helfen?
many Thx
Martin |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 21:55: |
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Hallo Martin,
Wieso weißt du, dass die Aufgabe leicht ist?
xy' = y + x -1 +1/(1+x)
y' -(1/x)y = 1-1/x+1/[x(1+x)]
Dies hat die Form: y' + p(x)*y = g(x)
Wir bilden:
µ(x) = exp(ò p(x)dx)
In unserem Beispiel: ò p(x) = ò -1/x*dx = -ln(x)
µ(x) = exp(-ln(x)) = 1/x
Wir multiplizieren die Dgl mit µ(x):
(1/x)y' - 1/x²*y = 1/x - 1/x² + 1/[x²(1+x)]
Die linke Seite ist: (1/x*y)'
also ist:
1/x*y = ò 1/x - 1/x² + 1/[x²(1+x)]*dx
ò 1/x*dx = ln(x)
ò -1/x²*dx = -1/x
ò 1/[x²(1+x)]dx = -1/x - ln(x) + ln(1+x)
Diese 3 Terme zusammen: ln(1+x) + C
und
y = x*ln(1+x) + C*x
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 06:42: |
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Hi Martin,
Hilfreich für die Lösung Deiner Dgl.
y´ = y / x + 1 – 1 / [x*(1+x)] ist die
Substitution y = u * x , woraus y´ = x * u´+ u
entspringt
Wir machen davon Gebrauch und schreiben :
x u´ + u = u + 1 – 1 / [ x * ( 1 + x )
u hebt sich weg;
wir dividieren durch x ; es kommt:
u ´ = 1 / x - 1 / [x^2 *(1+x) ]
Den letzten Bruch zerlegen wir routinemässig (!)
in Partialbrüche
Ergebnis:
u ´ = 1 / x – {(- x +1) / x^2 +1/(1+x) }
vereinfacht:
u´ = 2 / x – 1 / x ^ 2 – 1 / ( 1 + x )
Es ist high noon für die Integration; es entsteht
mit der Integrationskonst. c :
u = 2 * ln x + 1 / x – ln (1+x) + c , also
y = 2 x ln x + 1 – x ln(1+x) + c x
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als allgemeine Lösung Deiner Dgl.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 06:47: |
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Hallo Fern,
ich habe nicht beachtet,dass Du die Aufgabe
schon gelöst hast,weil ich noch nicht ganz wach bin.
Sorry !
Viele Grüsse
Hans Rudolf Moser |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 10:30: |
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Hallo H.R.Moser, megamath,
Es ist immer gut, wenn man eine Aufgabe von verschiedenen Seiten her beleuchtet.
Jedoch: Nicht einmal ein Megamath kann solche Aufgaben im Schlaf lösen!
Du hast schon in der ersten Zeile ein -1/x verloren. Deshalb stimmen die Ergebnisse nicht überein.
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Beste Grüße, Fern |
Oli
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 20:10: |
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Hallo zusammen,
hier noch ein anderer Vorschlag zur Lösung:
Bringt man x-1+1/(1+x) auf denselben Nenner und multipliziert man die DGL mit dem Faktor
dx/x² und bringt alles auf eine Seite, erhält man die exakte DGL
(y/x² +1/(x+1) ) dx - dy/x = 0
Vielleicht meinte Martin deswegen ja, dass es eine "eigentlich einfache DGL" wäre, weil er auch herausgefunden hat, dass die DGL einen integrierenden Faktor besitzt, der nur von x abhängt, wusste dann aber nicht weiter...
So gings mir jedenfalls mal mit ner (noch nicht) exakten DGL. Wissen, dass es eine Lösung geben muss, ist eine Sache, den Lösungsweg gehen eine zweite.
Gruß Oli |
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 11:38: |
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ui... wow vielen Dank...
das ging ja fix...
also für mich war sie ganz und gar nicht leicht, weil sonst hätte ich hier ja nicht fragen brauchen 
Aber mein Dozent sagte, das man die "leicht" lösen kann...
und er hat recht... wenn man auf den Weg kommt
Nochmals vielen Dank
Gruss
Martin |
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