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Janette (Janette_W)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 13:42: | 
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Hallo an alle.
Ihr müßt wissen, dass ich immer mehr in Mathe verstehe und mich deshalb sehr freue. Leider muß ich bei eingen LA AUfgaben echt schlucken und hier kommt so eine.
Ich schreibe für alpha: a und für beta: b ... hoffe es irritiert euch nicht ... los geht`s:
Es seien u,v,w linear abhängige Vektoren eines Vektorraumes V über dem Körper K.
a) Für welche a,b aus K ist au+v, u+bv linear unabhängig?
b) Für welche Körper K sind u+v,v+w,w+u linear abhängig?
Ich kann mit dem Begriff lineare Abhängigkeit zwar was anfangen, kann aber die Fragen nicht wirklich beantworten. Wäre nett, wenn ihr mir dies kurz erklären könntet.
Dankeschön.
Bye |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 19:33: |
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a) 0 = l(au+v)+µ(u+bv) = u(la+µ)+v(l+µb)
Wegen der linearen Unabhängigkeit von u und v folgt
(la+µ) = 0 und (l+µb)=0
<=> l=-µb und -µab+µ=0
<=> l=-µb und µ(1-ab)=0
Hieraus folgt nur dann µ=l=0 , wenn ab¹1
b) Gleicher Ansatz wie eben
0 = a(u+v)+b(v+w)+c(w+u)
__=u(a+c)+v(a+b)+w(b+c)
=> c=-a und b=-a und b+c=0
=> -2a=0
Hieraus folgt nur dann a=b=c=0 , wenn char(K)¹2
Also stimmt die Aussage für alle Körper, deren Charakteristik ungleich 2 ist. |
Janette (Janette_W)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 13:08: |
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Danke dir Ingo! |
Janette (Janette_W)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 11:53: |
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Hallo Ingo ...
Ich habe noch eine Frage zu deinen Ausführungen.
Wie komme ich darauf, dass der Körper Charakteristik 2 haben muß um linear Abhängig zu sein?
Wäre nett wenn mir deine Gedanken näher presentieren würdest.
bye |
Janette (Janette_W)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 11:53: |
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Also ... ich verstehe zwar, daß bei CHar(2) und jedem vielfachen von a aus N (1+1)=0 im Dualsystem, aber würde das nicht auch für andere Charakteristika gelten?
Danke nochmal. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 18:34: |
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hi Janette,
die entscheidende Gleichung ist doch -2a=0
Das ist äquivalent zu -2=0 oder a=0
Wenn nun das letzte zutrifft, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn aber -2=0 gilt, dann erfüllt jedes beliebige a die Gleichung und somit sind die Vektoren linear abhängig !
Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste Zahl von Summanden des neutralen Elements der Multiplikation, deren Summe das neutrale Element der Addition ergibt. In Formeln :
Schar(K) k=1 1 = 0
Ist die Characteristik nun größer als zwei, dann kann -2=0 nicht mehr gelten, denn es gilt ja auch 1+1=2¹0 |
Janette (Janette_W)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 08:41: |
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Hallo Ingo.
Also jetzt habe ich es auf jeden Fall verstanden. Deine Definition von Charakteristik habe ich in dieser Form noch nie gesehen ... sehr anschaulich!
Vielen Dank nochmal.
Janette |
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