| Autor |
Beitrag |
    
Sharon (Sharon)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 13:29: | 
|
Liebe Grüße an alle!
Ich sitze heute wieder an meiner Matheübung und komme nicht so voran. Irgendwie kann ich die Aufgabe leider nicht ganz nachvollziehen und hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen.
1. Es sei K ein endlicher Körper. Man zeige:
a) Es gibt ein m aus den natürlichen Zahlen mit m * 1 = 1+1+1+1+...+1 = 0
b) Das kleinste solche m ist eine Primzahl. (=Charakteristik von K)
c) F(p) hat Charakteristik p.
Ich bin ja auch nicht ganz verständnislos, aber um diese Dinge zu zeigen fehlt mir das tiefe Verständnis dieser Aufgabe.
Danke für die Hilfe.
Ciao |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 17:48: |
|
Sharon:
1.Betrachte die Menge M:= {k*1 | k in |N}. Diese ist endlich, denn K ist endlich, also koennen die
Elemente nicht alle verschieden sein, d.h. es
gibt nat. Zahlen k_1, k_2 sodass k_1*1 = k_2*1
==> (k_1 - k_2)*1 = 0 ==> m := k_1 - k_2 leistet
das Verlangte.
2.Da M nicht leer ist, gibt es in M ein kleinstes
Element, dieses heisse p. Ann.: p = r*s mit
1 < r,s < p. Dann ist p*1 = (r*1)(s*1) = 0. K hat als Koerper keine Nullteiler, also gilt r*1 = 0 oder s*1 = 0 : Widerspruch zur Minimalitaet von p.
Also ist p unzerlegbar (prim).
3.F(p) ist der Koerper der Restklassen der ganzen
Zahlen modulo p, und p*1 = p ist kongruent 0
modulo p, d.h. die Restklasse von p ist das
Nullelement von F(p), und p ist offenbar die
kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.
mfg
Hans |
|
