| Autor |
Beitrag |
    
Tobias
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 00:10: | 
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Hallo, beim Üben zum Lösen von Differentialgleichungen ist mir was merkwürdiges aufgefallen,
das ich mir nicht erklären kann.
Ich wollte mir selber eine Aufgabe stellen und bin dazu von
y=tan(x) und seinen Ableitungen ausgegangen.
y' = tan²(x) +1
y'' = 2*tan(x) *(tan²(x) +1)
Dann habe ich das tan(x) durch y ersetzt und den Faktor (tan²(x) +1) durch y'.
Es kam die Dgl: y'' = 2*y*y' heraus.
Die war recht einfach zu lösen, indem ich
2yy' = (y²)' umgeformt habe und somit die leicht lösbare Dgl.:
y'' = (y²)' vorliegen hatte.
Es ergibt sich y'=y²+a² (wobei a nicht notwendig reell sein muss, nur mit a² geschrieben sind später nicht so viele Wurzeln zu schreiben)
Weiterer Lösungsweg führt über
dy/(y²+a²) = dx und
(1/a)*arctan(y/a) = x+b
letztendlich auf y=a*tan(a*(x+b)), wobei b eine weitere Konstante ist.
Die Einsetzprobe ergab natürlich eine wahre Aussage.
Irgendwie habe ich mal überlegt, was wohl wäre, wenn man die Konstante a=0 setzt.
Dann steht da y'=y² und damit
dy/dx = y²
dy/y² = dx
-1/y = x+c
y = -1/(x+c)
Dieses y ist ebenfalls eine Lösung der DGl. y" = 2yy'
Nun sieht die Funktion y=-1/(x+c) natürlich vollkommen anders aus als y=a*tan(a*(x+b)), und trotzdem erfüllen sie beide dieselbe Differentialgleichung.
Wer kann mir erklären, was dahintersteckt und wie man diese beiden verschiedenen Funktionen
"auf einen Nenner" bringt? |
clemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 22:19: |
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hi, tobias!
alles was du schreibst ist richtig.
die funktionen kann man auf keinen gemeinsamen nenner bringen, weil die differentialgleichungen einfach grundverschieden sind. das allerdings sieht man nur an den lösungen.
vielleicht fällt dir auf daß du für negative a mit dem arctan-trick nicht weiterkommst. in diesem falle hilft partialbruchzerlegung:
Hilfsrechnung:
1/(x^2-1) = 1/((x+1)(x-1)) = -1/2(x+1) + 1/2(x-1)
das ausintegriert ergibt -ln(x+1)/2 + ln(x-1)/2
wende nun dieses an auf dy/(y²-a²) = dx
nach "kurzer" rechnung wirst du dasselbe wie ich erhalten (außer ich hab mich verrechnet):
y(x) = a (1+e^(2ax))/(1-e^(2ax))
du mußt dir allerdings noch überlegen welche werte y (und in der folge auch x) annehmen darf, damit diese formel überhaupt stimmt (1/(y²-a²) sollte definiert sein).
du merkst also, daß die diffgleichungen für a² und -a² sprich salopp a>0 und a<0 grundverschieden sind. a=0 ist sozusagen eine trennungsdiffgleichung und verdient es somit eine eigene lösungsformel zu haben.
dieses verhalten wirst du bei der schwingungsgleichung wieder antreffen (ungedämpftes pendel) x'' + sinx = 0
da gibt's den fall daß das pendel durchschwingt und den üblichen fall. getrennt von dem wo das pendel ganz oben stehnbleibt. die lösungskurve dieses falles wird als separatrix bezeichnet, weil sie gebiete von qualitativ unterschiedlichem lösungsverhalten trennt.
hoffe, daß dir diese meine ausführungen was bringen
clemens |
Tobias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 21:11: |
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Hallo clemens, es hat etwas gedauert, bis bei mir der Groschen gefallen ist.
Die Funktion, die du erhalten hast:
y(x) = a (1+e^(2ax))/(1-e^(2ax))
lässt sich so umschreiben, dass sie die tangenshyperbolicus-Funktion enthält:
y(x) = a/tanh(2ax)
Ich glaube, einen Zusammenhang zwischen den beiden Lösungen
der durch + und - unterschiedenen DGln gefunden zu haben:
Möchte ich die DGl. dx = dy/(y²-a²) für negative a² lösen,
könnte ich a durch ia ersetzen und habe die DGl so verändert:
dx = dy/(y²+a²) => (1/a)*arctan(y/a) = x (bzw. x+b)
dx = dy/((ia)²+y²) => 1/(ia) *arctan(y/(ia)) = x
Wird nun das y/(ia) anstelle von x in die Potenzreihenentwicklung arctan(x)=Sn=1oo (-1)n x2n+1/(2n+1) eingesetzt und mit 1/(ia) multipliziert, wird aus der arcustangens-Reihe die areatangens-Reihe:
1/(ia) arctan(y/ia) = (... kurze Rechnung ...) = -1/a *artanh(y/a),
dann steht mit x=-1/a *artanh(y/a) <=> y=a*tanh(-ax) dort die Lösung der DGl:
dx = dy/(y²-a²) = dy / ( y² +(ia)² )
Insofern kann man an den Lösungsfunktionen
y(x) = a (1+e^(2ax))/(1-e^(2ax)) = a/tanh(2ax)
und y(x) = a*tan(a*(x+b))
doch eine Übereinstimmung feststellen; sie lassen sich durch die Potenzreihenentwicklungen ihrer Umkehrfunktionen ineinander überführen.
Oder habe ich mich vertan?
So gut mir dein Satz "a=0 ist sozusagen eine trennungsdiffgleichung und verdient es somit eine eigene lösungsformel zu haben" auch gefällt (weil von der Praxis mit dem Schwingungsbeispiel her sehr einleuchtend), so unsicher bin ich mir noch dabei (da es ja mir ja eigentlich durch bloßes Ersetzen von a durch ia gelingt, die eine Lösung für a²>0 in die andere Lösung für a²<0 zu überführen), dass der Übergang a=0 eine extra Lösung erfordert, die auch vollkommen anders aussehen darf.
für die richtige Ersetzung bin ich allerdings momentan blind, fällt dir vielleicht nicht doch noch auf, an welcher Stelle man aus der einen Potenzreihe diejenige Potenzreihenentwicklung erhalten kann, die der "grundverschiedenen" Lösung y = -1/x entspricht?
Potenzreihenentwicklung von 1/x wäre ja problematisch, da 1/x schlecht entwickelbar im Gegensatz zu arctan(x).
Jedenfalls noch vielen Dank |
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