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Christina.Link@gmx.net
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 11:13: | 
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HUHU!
Ich bin leider nicht in der Lage folgende Aufgabe zu lösen. Vielleicht kann mir einer von euch dabei helfen.
Man beweise die Ungleichung
a) a^2+b^2 >(gleich) 2ab für a,b element aus R
b) a^2/b+b^2/a >(gleich) a+b für a,b>0
>(gleich)= linke Seite soll größer gleich rechte Seite sein
Ich hoffe einer von euch kann dieses Durcheinander verstehen und mir helfen.
DANKE! |
Andreas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:47: |
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Hi Christina!
a) ist ganz einfach:
a^2+b^2>=2ab |-2ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0
Da ein Quadrat immer >=0 ist, wäre
die Ungleichung bewiesen.
b)
a^2/b+b^2/a>=a+b |*ab
a^3+b^3>=a^2b+ab^2 |+3a^2b+3ab^2
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3>=4a^2b+4ab^2
(a+b)^3>=4ab(a+b)
Durch die Bedingung a,b beide >0
kann der Fall (a+b)<=0 gar nicht eintreten,
sonst müsste mindestens eins von beiden
kleiner 0 sein.
Deswegen kann ohne Fallunterscheidung oder
Umdrehen des Zeichens durch (a+b) dividiert
werden:
(a+b)^3>=4ab(a+b) |: (a+b)
(a+b)^2>=4ab
a^2+2ab+b^2>=4ab |-4ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0
Das diese Ungleichung stimmt, haben wir ja oben
schon festgestellt.
q.e.d.
Ciao, Andreas |
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