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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 851
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Januar, 2003 - 21:24: | 
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Hi!
1.) Seien a,b aus R. Gegen welchen Grenzwert konvergiert dann die Folge mit a0=a, a1=b und
an=1/2*(an-1+an-2) für n³2.
Sieht ja irgendwie ein wenig nach Intervallschachtelung aus, aber wie bekomme ich da den Grenzwert raus?
2.)
Produkt von n=2 bis unendlich: (n3-1)/(n3+1)
Wenn ich das mal mit ein paar Zahlenwerten in Maple rechnen lasse, scheint 2/3 rauszukommen, ich weiss aber halt nicht wie man drauf kommt.
MfG
C. Schmidt |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 07:59: |
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Hallo Christian!
1.) <a,b,(a+b)/2,(a+3b)/4,(3a+5b)/8,(5a+11b)/16,...> führt auf den Ansatz
(*) an = (a*kn + b*pn)/2n-1
einsetzen in an-Rekursion liefert
k1 = 0 , k2 = 1 , p1 = 1 , p2 = 1
kn = kn-1 + 2kn-2 , pn = pn-1 + 2pn-2
Lösen der Rekursionsgleichung
kn = (-1)n/3 + 2n/6 , pn = (-1)n/3 + 2n/3
einsetzen in (*)
an = 2/3 * (a+b) * (-1/2)n + (a+2b)/3 , Grenzwert offenbar (a+2b)/3
2.) <7/9,13/18,7/10,31/45,43/63,...> da kürzt sich viel weg. Kleiner Trick: 2/3 herausheben
2/3 * <7/6,13/12,21/20,31/30,43/42,...> , jetzt ist das regelmäßige Muster sichtbar
zeige: Produkt bis n = 2/3 * (1 + 1/(n²+n)) mit Grenzwert 2/3
Gruß,
Gjallar
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 483
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 08:21: |
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Christian,
Zunächst einmal
1.) Es gibt verschiedene Möglichkeiten.
a) Sei dn:= an+1-an, n >= 0.
Die Rekursion lautet dann
dn = (-1/2)dn-1 ==> dn = (-1/2)n*d0
und es ist
an= a0 + Sn-1 k=0dk
also eine konvergente geometrische Reihe.
b) Die Rekursion ist eine lineare Differenzengleichung
2.Ordnung, die charakteristische Gleichung lautet
2l2-l-1=0
mit den Lösungen 1 und -1/2. Also ist
an = A + B*(-1/2)n
mit A+B=a0 , A-B/2 = a1.
mfG Orion
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 484
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 13:37: |
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Christian,
Setze für k > 1:
ak = (k2-k+1)/(k2-k).
Dann ist
(k3-1)/(k3+1) = ak+1/ak,
und daher
prod{k=2,n}(k3-1)/(k3+1)=an+1/a2,
ein Teleskopprodukt !
mfG Orion
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 856
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 14:39: |
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Vielen Dank für eure Antworten!
MfG
C. Schmidt |
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