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Beitrag |
    
ViViane (viviane)
Neues Mitglied
Benutzername: viviane
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 14:22: | 
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Hallo, leider fehlt mir der richtige Ansatz um die aufgabe zu lösen. ich weiss, es muesste über vollständige Induktion gehen, weiß aber nciht genau wie:
Aufgabe:
Beweise:
(x^n - y^n) / (x-y) ist Element Z, mit x,y Element Z; n element N
Für Hinweise wäre ich sehr dankbar  ) |
Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 16:24: |
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Hi Viviane!
Für n=1 gilt: x-y|x-y
Gelte die Aussage nun für ein bestimmtes k, dann muss
sie auch für k+1 gelten, also muss gelten
x-y|x^(k+1)-y^(k+1)
Nach Voraussetzung ist x^k-y^k=c*(x-y) <=> y^k=x^k-c*(x-y)
=> x^(k+1)-y^(k+1)=x^(k+1)-y*x^k+c*y*(x-y)
= x^k*(x-y)+c*y*(x-y)=(x^k+c*y)*(x-y)
Damit ist die Aussage bewiesen.
Gruß,
X. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 370
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 17:11: |
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Hi,
aus den Zerlegungsformeln folgt direkt
(x^n-y^n) / (x-y) = x^(n-1) + x^(n-2)y + x^(n-3)y^2 + ... + x^2y^(n-3) + xy^(n-2) + y^(n-1)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 904
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Januar, 2003 - 13:06: |
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...die aus der Betrachtung einer Polynomdivision
gewonnen werden kann:
die Folge der Zwischenreste ist
y*xk-1 - yk, y2xk-2 - yk, ... yk-1x - yk,0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 124
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Januar, 2003 - 14:41: |
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Eure Erkenntnisse sind schön und gut(da richtig).
Allerdings kommt mein Beweis ohne "..." aus, ist daher vor-
zuziehen. Formal ist die "..."-Notation nicht unbedenklich,
auch wenn klar ist, was damit gemeint ist. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 905
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Januar, 2003 - 15:16: |
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bei der
Division des Zwischenrestes yixk-i
durch (x-y)
ergib sich:| | | neuer Qotienten term | xk-i-1yi | | | neuer Zwischenrest | yi+1xk-i-1 |
dafür stehen die ...
daraus
geht eindeutig hervor, daß der vorletzte
Zwischenrest
yk-1x entstehen muß.
Außerdem
läß sich der Quotient auch als geometerische Reihe
betrachten, was einen neuerlichen Beweis ergibt.
Und
bei der Behandlung der geo. R. sollte in der Schule auf diesen Umstand hingewiesen werden.
Ich
hasse es, wenn etwas das konstruktiv herleitbar ist ( und hier sogar mehr abwirft, nämlich den Quotienten ) als Beweisaufgabe gestellt wird.
Aber natürlich verdient Xell's Darstellung trotztdem Anerkennung.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 485
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Februar, 2003 - 13:42: |
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Hallo,
Xell hat grundsätzlich Recht: Hinter "..." verbirgt sich
immer das Induktionsaxiom, man verzichtet nur
stillschweigend auf die Ausführung des Induktionsschlusses, weil die Sache ja "evident" ist.
mfG Orion
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