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clarissa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 14:42: | 
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hallo
kann mir jemand dafür einen beweis zeigen:
0 < a < 1 , daraus folgt : Es existiert zu jedem b > 0 ein n der natürlichen Zahlen, so daß a^n < b.
finde ich alles total logisch. das die menge der natürlichen zahlen nach oben offen ist, und man so a^n beliebig klein machen kann is mir auch klar, aber wie formuliert man das als beweis?
für hilfe wär ich echt dankbar... |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 23:56: |
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Kommt ganz darauf an was ihr voraussetzen dürft. Wenn die Logarithmusfunktion schon bekannt ist, ist es einfach
an<b <=> nln(a) < b <=> n>b/ln(a)
Wenn ihr das nicht voraussetzen dürft, würde ich eine Betrachtung der Folge (an)nÎIN vornehmen. Sie ist monoton fallend und durch 0 beschränkt(zu beweisen !), also konvergent. Ihr Grenzwert ist 0(an+1-an=0 => a=0 v a=1), also wird jede noch so kleine Schranke b>0 unterschritten. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:09: |
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clarissa :
Man braucht weder log noch lim !
0 < a < 1 ==> a = 1/(h + 1) mit h > 0.
Die Ungleichung ist also aequivalent zu
b(1 + h)^n > 1.
Nun gilt (Bernoulli-Ungleichung oder binom.Satz)
(1 + h)^n > 1 + nh > nh.
Waehlt man also n > 1/(bh), so ist a^n < b.
mfg
Hans |
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