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Sena (sena)
Neues Mitglied
Benutzername: sena
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 14:03: | 
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Hallo ,
habe eine Aufgabe die ich mal wieder nicht lösen kann.
kann mir bitte jemand helfen????
Also die Aufgabe lautet:
Sei p eine Primzahl.
sei N : F*p² ->F*p²
mit x->x(hoch)p+1.
zu zeigen ist :
1) N ist ein Gruppenhomomorphismus
2) Das Bild von N liegt in Fp
3) Der Kern von N hat höchstens p+1 Elemente.
4) N ist surjektiv und der Kern von N besteht aus genau p+1 Elementen.
Für jeden Tipp bin ich dankbar.
gruss
sena |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 467
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 18:57: |
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sena,
Ich nehme an, mit F*p2 ist die multiplikative
Gruppe von GF(q) mit q=p2 gemeint, und es soll
N(x):=xp+1 sein ?
1) N(xy)=N(x)N(y) ist klar.
2) Die Elemente des Primkörpers Fp sind genau die
Nullstellen von Xp-X, also muss man zeigen, dass
(N(x))p-1=1 für alle x € GF(q)-{0}. Für alle x € GF(q)
gilt aber xq=x, daher
(N(x))p-1=xq-1=x*x-1=1.
3) x€Kern(N) <==> xp+1-1 = 0. Ein Polynom
(p+1)-ten Grades hat höchstens p+1 Nullstellen.
mfG Orion
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Sena (sena)
Junior Mitglied
Benutzername: sena
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Januar, 2003 - 10:35: |
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Hi Orion,
danke dir, dass du dich damit beschäftigt hast.
Deine Annahme am Anfang ist richtig. Werde mir den Rest gleich noch mal in ruhe anschauen.
gruß
sena
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 469
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Januar, 2003 - 19:20: |
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Sena,
ich vergass,noch auf 4) einzugehen. Für Gruppenhomomorphismen N : G®G' gilt
allgemein :
(*) |G| = |Kern(N)|*|Bild(N)|.
Wir wissen, dass |G|=p2-1 , |Bild(N)| £p-1
(siehe 2)) und |Kern(N)| £ p+1 (siehe 3)).
Wegen (*) muss auch p+1£|Kern(N) sein,
folglich |Kern(N)|= p+1 und damit |Bild(N)|=p-1.
mfG Orion
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