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leonie anders (leonie80)
Neues Mitglied
Benutzername: leonie80
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 15:40: | 
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ich soll hier die Normalform herstellen ??
Wie geht denn das... und kann mir jemand wenigsten bei einer Aufgabe helfen ?
Wäre echt nett!
a) uxx + 2uxy + 4uyy + 3ux -2uy + u =0
b) (1 + x^2)uxx + (1 + y^2)uyy + 5ux - 3u = 0
c) 6uxx-8uyy +(cosx)ux+5u = 0
x,y sind die Parameter, ich wußte nicht wie ich das schreiben soll |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 466
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 16:04: |
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leonie,
Die Dgln. sind von der Form
Auxx+2Bux,y+Cuyy + ... = 0
Der Typus hängt vom Vorzeichen der Diskriminante
D:= AC-B2
a) D= 3>0, d.h. wir haben den elliptischen Fall.
Die Dgl. für die Charakteristiken lautet
(dy/dx)2-2(dy/dx)+4 = 0 ==>
dy/dx =1±i*sqrt(3).
Wir haben also 2 konjugiert komplexe Scharen von
Charakteristiken, nämlich
g(x,y):=(1+i*sqrt(3))x-y = const. und
h(x,y):=(1-i*sqrt(3))x-y = const.
Wir führen nun neue unabhängige Variable s,t
gemäss
s = g(x,y)+h(x,y) = 2x-2y, t = i*(g(x,y)-h(x,y))=-2sqrt(3)x
ein. Dadurch wird u(x,y)=U(s,t) und
ux = 2Us - 2sqrt(3)Ut,
uy=-2Us,
uxy=-4Uss+4sqrt(3)Ust
uxx=4Uss-8sqrt(3)Ust+12Utt
uyy = 4Uss.
Setzt man das in die DGl. ein, so hat man die gesuchte
Normalform:
12Uss+12Utt+10Us-6sqrt(3)Ut+U=0.
Rechne bitte alles nach !
Mit den gegebenen Hinweisen solltest Du auch bei
b) und c) weiterkommen
mfG Orion
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