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Sabrina (sabip)
Junior Mitglied
Benutzername: sabip
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 19:02: | 
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Hallo,
wäre sehr nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte:
Bestimmen Sie die Lage und das Stabilitätsverhalten der Gleichgewichtslösungen des linear gedämpften Pendels
x^..(das sollen 2Punkte über dem x sein,2 mal ableiten)
x^. (das soll1 Punkt über dem x sein)Aufgabe:
x^..+Dx^.+sinx = 0, (D>0) |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 463
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 14:23: |
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Sabrina,
Ich gehe einmal ganz naiv an die Sache heran, ich
weis nicht, wieviel von der allgemeinen Theorie
dynamischer Systeme vorausgesetzt wird.
Gleichgewichtslösungen (GL) sind Konstante, welche die Dgl. erfüllen. Demnach sind x1=0 (unterer Ruhepunkt) und x2=p (oberer Ruhepunkt)
die beiden möglichen GL.
Wir setzen x(t)=xk+u(t) ,k=1,2, dabei wird u(t) als "kleinvon 1.Ordnung" angenommen, d.h. höhere Potenzenvon u werden vernachlässigt.
Wegen
sin(u) = u + O(u3)
erhält man so das "linearisierte" Problem
(1) (d2/dt2)u+D du/dt ± u = 0
Dabei entspricht "+" dem x1, und "-" dem x2.
Die allgemeine Lösung von (1) lautet
(2) u(t) = A*exp(l1t)+B*exp(l2t)
wobei l1,2 die Eigenwerte (EW), d.h. die Lösungen der charakteristischen Gleichung
(3) l2+Dl ± 1=0
sind. Die GL ist stabil, wenn beide EW negativen
Realteil haben (u ist exponentiell gedämpft),
die GL ist instabil (u ist exponentiell angefacht),
wenn mindestens ein EW positiven Realteil
aufweist. Demnach ist x=0 stabil, und x=p
instabil, was ja auch physikalisch klar ist.
mfG Orion
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