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2 knifflige Aufgaben

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Andre
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 09:41:   Beitrag drucken

1a) Für welche reelen Zahlen x gilt die
Ungleichung:
1 + Ix-1I > Ix-2I ? ( I ist Betragsstrich)

b) Zeigen Sie für positive reele Zahlen x,y
die Ungleichung:
x/y + y/x größer gleich 2

2) In einem Raum mit nur einer Tür befinden sich Personen, die entweder einen weißen oder einen schwarzen Hut tragen. Jede Person sieht alle andern Personen,somit insbesondere die Farbe deren Hüte,weiß aber die Farbe des eigenen Hutes nicht. Die Tür öffnet sich nun jede Minute einmal, und diejenigen Personen, die wissen, dass sie einen weissen Hut tragen, dürfen den Raum verlassen.Während der ganzen Zeit kommen keine Personen dazu. Den Personen im Raum ist bekannt, dass mindestens einer einen weissen Hutträgt.

Frage:Zu welchem Zeitpunkz verlassen wieviele
Personen den Raum, wenn "n" Personen (neN)
einen weissen Hut tragen?
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andre
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 10:53:   Beitrag drucken

die zweite aufgabe hab ich gelöst.hat denn niemand eine idee für die erste?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 11:14:   Beitrag drucken

Hi Andre,

Lösung der Teilaufgabe 1b) ; 2 Methoden
Voraussetzung durchwegs: x > 0, y > 0

1.Methode : indirekter Beweis
°°°°°°°°°°°
Wir nehmen an, es gelte:
x / y + y / x < 2 (Kontraposition), daraus folgt:
x ^ 2 + y ^ 2 < 2 * x * y oder:
x ^ 2 - 2 * x * y + y ^ 2 < 0 also
( x – y ) ^2 < 0 ,was nicht möglich ist (Widerspruch).
Die Annahme kann nicht zutreffen; daher gilt :
x / y + y / x > = 2, was zu zeigen war (w.z.z.w.)

2.Methode Lösung einer Extremalaufgabe
°°°°°°°°°°°
Sei x / y = z ; wir betrachten
f(z) = z +1 /z als Funktion von z > 0
Wir suchen das relative Minimum, welches
zugleich das absolute Minimum von f(z) ist
Ableitung f ´ (x) = 1 – 1 / z ^2
f ´(z) = 0 für z = 1
Die zweite Ableitung f ´´(z) = 2 / z^2 ist positiv,
somit legt ein Minimum vor; mithin:
f(z)>=f(1),also
z + 1 / z > 2 (w.z. z. w.)

Bei dieser Gelegenheit möchte ich eine Zusatzaufgabe stellen, deren Lösung leicht aus der obigen Ungleichung hergeleitet werden kann:

Schliesse aus der Ungleichung
x ^ 2 + y ^ 2 > = 2 * x * y, dass
x^2 + y^2 + z^2 > = y*z + z*x + x*y gilt.

MfG
H.R.Moser,megamath.

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