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Beitrag |
    
Lisa-Marie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 09:30: | 
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Brauche schnelle Hilfe :
(a)Summenzeichen(oben n unten k=1)k^4 =
1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3 - 1/30n
(b)Summenzeichen(oben n unten k=1)k^5 =
1/6n^6 + 1/2n^5 + 5/12n^4 - 1/12n^2
(c)großes Phi Zeichen?!?(oben n unten k=2)
(1-1/k^2) = 1/2(1 + 1/n)
umgedrehtes A größer gleich 2
(d)Beweisen Sie für reele Zahlen x mit
0 kleiner gleich x kleiner gleich 1 die
Ungleichung:
(1-x)^n kleiner gleich 1/1 + nx
mit neN |
Lisa-Marie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 07:13: |
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habt ihr nicht wenigstens ein paar Tips für mich? Das ist wirklich wichtig.Danke! |
Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 08:16: |
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Allgemein gilt, dass Du die Gleichung für n=1 (bzw. Startindex) und dann für n-->n+1 zeigen musst.
Bei a) wäre das n=1 ==> 1=1 klar !
dann noch n-->n+1
S(n+1/k=1)k^4=S(n/k=1)k^4 + (n+1)^4
mit S(ObererIndex/UntererIndex) S=Summe
Dann ersetzt Du S(n/k=1)k^4 durch den rechten Teil Deiner Gleichung (weil Du ja annimmst, das es stimmt) und musst dann durch "auf gleichen nenner bringen" und rumrechnen auf die anfangsformel kommen nur dass da, wo n stand jetzt n+1 steht. Dann bist Du fertig
P.S. Übrigens dieses grosse Pi bei der anderen Aufgabe ist eben nicht die Summe, sondern das Produkt.... |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 08:58: |
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Hallo Lisa-Marie
a) Sn k=1k4=1/5n5+1/2n4+1/3n³-1/30n
Ind. Anf.: n=1
linke Seite: S1 k=1k4=1
rechte Seite: 1/5+1/2+1/3-1/30=(6+15+10-1)/30=1
stimmt also für n=1
Ind.Schluss: n->n+1
Beh.: Sn+1 k=1k4=1/5(n+1)5+1/2*(n+1)4+1/3(n+1)³-1/30(n+1)
Bew.:
Sn+1 k=1k4
=Sn k=1k4+(n+1)4
=1/5n5+1/2n4+1/3n³-1/30n+(n+1)4
=1/5n5+1/2n4+1/3n³-1/30n+n4+4n³+6n²+4n+1
=1/5n5+3/2n4+13/3n³+6n²+119/30n+1
=(1/5n5+n4+2n³+2n²+n+1/5)+(1/2n4+2n³+3n²+2n+1/2)+(1/3n³+n²+n+1/3)-(1/30n+1/30))
=1/5(n+1)5+1/2(n+1)4+1/3(n+1)³-1/30(n+1)
b) Sn k=1k5=1/6n6+1/2n5+5/12n4-1/12n²
Ind.Anf.: n=1
linke Seite: S1 k=1k5=1
rechte Seite: 1/6+1/2+5/12-1/12=(2+6+5-1)/12=1
stimmt also für n=1
Ind. Schluss: n->n+1
Beh.: Sn+1 k=1k5=1/6(n+1)6+1/2(n+1}5+5/12(n+1)4-1/12(n+1)²
Bew.:
Sn+1 k=1k5
=Sn k=1k5+(n+1)5
=1/6n6+1/2n5+5/12n4-1/12n²+(n+1)5
=1/6n6+1/2n5+5/12n4-1/12n²+n5+5n4+10n³+10n²+5n+1
=1/6n6+3/2n5+65/12n4+10n³+199/12n²+5n+1
=1/6(n6+6n5+15n4+20n³+15n²+6n+1)+1/2(n5+5n4+10n³+10n²+5n+1)+5/12(n4+4n³+6n²+4n+1)-1/12(n²+2n+1)
=1/6(n+1)6+1/2(n+1)5+5/12(n+1)4-1/12(n+1)²
Mfg K. |
Lisa-Marie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 09:02: |
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vielen dank, a) und b) kann ich jetzt nachvollziehen, funktioniert das denn mit dem Produkt und der Ungleichung dann ähnlich? |
Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 09:18: |
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Das Schema ist immer gleich für n=1 bzw. n=startindex zeigen und dann den Schritt machen "Wenn es für n gilt, dann auch für n+1". Daraus folgt dann, dass es für jedes n>Startindex gilt.
Die c) erinnert mich an etwas an die Bernoullische Ungleichung (1+x)^n >= 1+n*x für x>-1 |
Lisa-Marie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:28: |
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also c) und d) bekomm ich nicht raus,dafür bräuchte ich nochmal tips wenns geht.
vielen Dank! |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 20:00: |
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c) Produkt(k=2 bis n)(1-1/k²)=1/2(1+1/n)
Ind.Anf.: k=2
linke Seite: 1-1/2²=1-1/4=3/4
rechte Seite: 1/2(1+1/2)=1/2*3/2=3/4
stimmt also
Ind. Schluß: n->n+1
Beh.: Produkt(k=2 bis n+1)(1-1/k²)=1/2(1+1/(n+1))
bew.: Produkt(k=2 bis n+1)(1-1/k²)
=Produkt(k=2 bis n)(1-1/k²)*(1-1/(n+1)²)
=1/2(1+1/n)*(1-1/(n+1)²)
=1/2(1+1/n-1/(n+1)²-1/n*1/(n+1)²)
=1/2(1+((n+1)²-n-1)/(n(n+1)²))
=1/2(1+(n²+2n+1-n-1)/(n(n+1)²))
=1/2(1+(n²+n)/(n(n+1)²))
=1/2(1+n(n+1)/(n(n+1)²))
=1/2(1+1/(n+1))
Mfg K. |
