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robi (lavaza)
Neues Mitglied
Benutzername: lavaza
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:12: | 
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Hallo,
kann mir jemand weiterhelfen mit folgender Aufgabe? Ich versteh nicht ganz nach was gefragt ist!!
Gegeben sei die komplexe Funktion f(z)=z+1/z z ungleich 0!
Für welche z stellt f(z) eine konforme Abbildung dar? |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1944
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 18:40: |
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Hi Robi,
Eine Abbildung der z-Ebene auf eine w-Ebene
heisst im Punkt P konform, wenn bezüglich des
Bildpunktes P´ von P das Folgende gilt:
der Schnittwinkel irgend zweier durch P gehenden
Kurven c1 und c2 stimmt mit demjenigen der
Bildkurven c1´ und c2´ überein (Winkeltreue).
Es gilt der Satz:
Eine Abbildung durch analytische Funktionen f(z)
in der komplexen Eben ist konform an allen Stellen z = zo,
für die die Ableitung f ´(zo) ungleich null ist.
Bei Deiner Funktion sind diese Ausnahmestellen
z = 1 und z = -1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1945
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 08:14: |
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Hi Robi,
Es ist reizvoll, bei Deiner Aufgabe noch etwas
zu verharren und ein paar Ergänzungen anzubringen.
Das erste, was wir anbringen ist völlig harmlos.
Es ist der Faktor ½ .
Aus Gründen der Zweckmässigkeit untersuchen wir
im Folgenden die Funktion
g(z) = ½ ( z + 1/z ) statt f (z) = z + 1/z
Die z-Ebene werde durch g(z) in die w-Ebene abgebildet,
es sei also
w = ½ ( z + 1/z )
Selbstverständlich ist auch diese Abbildung eine konforme
Abbildung, ausser in den Punkten z = 1 und z = - 1.
Wir wollen nachsehen, was in diesen Punkten los ist.
Der allgemeine Punkt in der z-Ebene mit z ungleich null sei
z = x + i y = r * [ cos(phi) + i sin (phi) ];
für den Reziprokwert 1/z erhalten wir
1/z = 1/r * [ cos(phi) – i sin(phi) ]
Der allgemeine Punkt in der w-Ebene sei
w = u + i v (die trig. Form benötigen wir hier nicht)
Unter Benützung der Abbildungsgleichung
und bei Trennung von Real- und Imaginärteil erhalten wir
die reellen Abbildungsgleichungen
u = ½ (r + 1/r) cos (phi) , v = ½ (r – 1/r) sin(phi)
1.Option
Das Argument phi sei konstant, während r alle positiven
Werte von 0 bis unendlich durchläuft; dies bedeutet:
wir wollen einen bestimmten Ursprungsstrahl der z-Ebene
in die w-Ebene abbilden.
Wie sieht das Bild aus? Was passiert?
Indem wir den Parameter r durch Quadrieren
und Subtrahieren eliminieren, erhalten wir
eine Koordinatengleichung in u und v, nämlich:
u^2 / [( cos(phi)^2] - v^2 / [( sin(phi)^2] = 1
Das ist die Gleichung einer Hyperbel mit der
u-Achse als Fokalachse und der v-Achse als
Querachse.
Für die Halbachsen a und b gilt:
a^2 = cos (phi) ^2, b^2 = sin(phi )^2
Für die lineare Exzentrizität e kommt:
e^2 = a^2 + b^2 = 1
****************
für alle Hyperbeln der Schar
Fazit:
Es handelt sich um Hyperbeln mit den festen
Brennpunkten w = 1 und w = -1.
Die reelle Halbachse a ist gleich dem Absolutbetrag
von cos(phi).
Variiert phi von 0 bis Pi, so nimmt
a zuerst von 1 bis 0 (für ½ Pi) ab und steigt dann wieder
von 0 bis 1.
Jede unsere Hyperbeln entspricht somit zwei verschiedenen
Geraden der z-Ebene, welche symmetrisch zur y-Achse
liegen.
2.Option
Jetzt lassen wir r konstant und variieren phi von 0 bis 2 Pi,
d.h. wir bilden die Schar konzentrischer Kreise mit dem
Mittelpunkt O der z-Ebene in die w-Ebene ab.
Durch Elimination von phi erhalten wir die Gleichung der
Bildkurve, nämlich:
4 u^2 / [ r + 1/r ]^2 + 4 v^2 / [ r - 1/r ]^2 = 1
Das ist die Gleichung einer Ellipse, die mit der Hyperbel den
Mittelpunkt, die Fokalachse und die Brennpunkte gemeinsam
hat.
Für die lineare Exzentrizität e der Ellipse erhalten wir nämlich
wiederum den Wert 1, wie die folgende Rechnung zeigt:
Aus a^2 = ¼ ( r + 1/r ) ^ 2 und b^2 = ¼ ( r – 1// r ) ^ 2
mit a > b folgt :
e^2 = a^2 – b^2 = 1 wie bei der Hyperbelschar.
Wir notieren den Satz:
Den Kreisen um den Nullpunkt O und den Halbgeraden
durch O der z-Ebene entsprechen in der w-Ebene
Ellipsen und Hyperbeln mit denselben Brennpunkten
in den Punkten w = 1 und w= - 1; die Kurvenscharen
sind somit konfokale Ellipsen und Hyperbeln.
Anmerkung
Die grosse Halbachse a einer Ellipse beträgt
a = ½ (r + 1 / r)
Zu einer solchen Ellipse der w-Ebene gehören zwei
Kreise der z-Ebene, deren Radien reziproke Werte haben,
denn der Term für a ändert sich nicht, wenn r durch 1/r
ersetzt wird.
Schluss folgt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1946
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 09:13: |
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Hi Robi,
Da die in meinem letzten Beitrag untersuchte Abbildung
w = ½ ( z + 1/z ) eine konforme Abbildung ist,
mit Ausnahme der Stellen z = 1 und z = -1, können
wir folgern, dass sich die konfokalen Ellipsen und
Hyperbeln überall unter demselben Winkel schneiden
wie die entsprechenden Kreise und Geraden.
Diese schneiden sich aber rechtwinklig;
somit gilt der Satz:
Eine Ellipse und eine Hyperbel, welche die beiden
Brennpunkte gemeinsam haben, schneiden sich
orthogonal.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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