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Manuel (batmanu)
Junior Mitglied Benutzername: batmanu
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 11:17: |
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Hallo ! Ich hab irgendwie noch nicht den vollen Plan beim Lösen von Differentialgleichungen. Wer kann mir bei den folgenden 2 helfen ? 1) x'=1+x² mit x(0)=x0 2) x'=3*x+t² mit x(0)=x0 Schon mal vielen Dank für Eure Hilfe ! Für ein bisschen Ausführlichkeit wäre ich auch sehr dankbar ! Gruß Manuel
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 452 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 14:50: |
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Manuel, 1) x'/(1+x2) = 1 <==> (d/dt) arctan(x) = 1 <==> arctan(x) = t+C Aus Anfangsbedingung : C= arctan(x0) ==> x(t) = tan [t + arctan(x0)] = [tan(t) + x0]/[1-x0*tan(t)] 2) Allgemeine Lösung u=u(t) der homogenen Dgl. u ' = 3u : u(t) = C*exp(3t) Partikuläre Lösung v = v(t) der inhomogenen Dgl. v' = 3v + t2 : Ansatz : v(t) = w(t)*exp(3t) führt auf w'(t) = t2*exp(-3t) Allgemeine Lösung der gegebenen Dgl. also x = u+v = C*exp(3t) + ò0 ts2*exp(-3s)ds. C=x0 aus Anfangsbedingung. Berechnung des Integrals ist elementar (partielle Integration). mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1943 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:01: |
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Hi Manuel, Ich löse Dir die Aufgabe b) vor. Es ist anzunehmen, dass dabei eine Funktion x = x(t) der unabhängigen Variablen t gesucht wird. Es liegt eine inhomogene lineare DGL. erster Ordnung vor. Wir lösen zuerst die homogene Gleichung dx/dt = 3x durch Trennung der Variablen: dx/x = 3 dt Die Integration mit c als Integrationskonst. ergibt ln x = 3 t + c oder mit einer neuen Konstanten k: x = k* e ^ (3 t ) ************ Wir suchen eine so genannte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung dx/dt = 3x + t^2 , indem wir den Ansatz x = a t^2 + b t + c machen und dies, zusammen mit der Ableitung dx/dt = 2 a t + b in die DGL einsetzen: Wir bringen die Gleichung, die so entsteht, auf null und ordnen nach Potenzen von t; Ergebnis: ( 1+ 3a ) * t ^ 2 + ( 3b - 2a ) * t + (3 c – b ) = 0 Da die linke Seite für alle t null sein muss, sind die Inhalte der drei runden Klammern alle null. Wir können die Koeffizienten a , b , c der Reihe nach Bestimmen und erhalten: a = - 1/3 , b = - 2 / 9 , c = - 2 / 27. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lautet somit: x = - 1/3 * t^2 – 2/9 t - 2/27; addieren wir dies zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, die weiter oben steht und mit Sternen unterstrichen ist, so kommt als allgemeine Lösung der gegebenen DGL: x = k* e ^ (3 t ) - 1/3 * t^2 – 2/9 t - 2/27 setzt man darin t = 0 und gleichzeitig x = xo, so erhält man eine Gleichung für k mit der Lösung k = xo + 2/27. Damit ist diese Aufgabe gelöst. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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