Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

2 Differentialgleichungen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Differentialgleichungen » 2 Differentialgleichungen « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Manuel (batmanu)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: batmanu

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 11:17:   Beitrag drucken

Hallo !
Ich hab irgendwie noch nicht den vollen Plan beim Lösen von Differentialgleichungen. Wer kann mir bei den folgenden 2 helfen ?

1) x'=1+x² mit x(0)=x0
2) x'=3*x+t² mit x(0)=x0

Schon mal vielen Dank für Eure Hilfe !
Für ein bisschen Ausführlichkeit wäre ich auch sehr dankbar !

Gruß

Manuel
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 452
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 14:50:   Beitrag drucken

Manuel,

1) x'/(1+x2) = 1 <==> (d/dt) arctan(x) = 1

<==> arctan(x) = t+C

Aus Anfangsbedingung : C= arctan(x0)

==> x(t) = tan [t + arctan(x0)]

= [tan(t) + x0]/[1-x0*tan(t)]

2) Allgemeine Lösung u=u(t) der homogenen Dgl.

u ' = 3u :

u(t) = C*exp(3t)

Partikuläre Lösung v = v(t) der inhomogenen Dgl.

v' = 3v + t2 :

Ansatz : v(t) = w(t)*exp(3t) führt auf

w'(t) = t2*exp(-3t)

Allgemeine Lösung der gegebenen Dgl. also

x = u+v = C*exp(3t) + ò0 ts2*exp(-3s)ds.

C=x0 aus Anfangsbedingung. Berechnung des
Integrals ist elementar (partielle Integration).
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath (megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 1943
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:01:   Beitrag drucken

Hi Manuel,

Ich löse Dir die Aufgabe b) vor.
Es ist anzunehmen, dass dabei eine Funktion
x = x(t) der unabhängigen Variablen t
gesucht wird.
Es liegt eine inhomogene lineare DGL. erster
Ordnung vor.
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung
dx/dt = 3x durch Trennung der Variablen:
dx/x = 3 dt
Die Integration mit c als Integrationskonst.
ergibt
ln x = 3 t + c oder mit einer neuen Konstanten k:
x = k* e ^ (3 t )
************
Wir suchen eine so genannte partikuläre Lösung
der inhomogenen Gleichung
dx/dt = 3x + t^2 , indem wir den Ansatz
x = a t^2 + b t + c machen und dies, zusammen mit
der Ableitung dx/dt = 2 a t + b in die DGL einsetzen:
Wir bringen die Gleichung, die so entsteht, auf null
und ordnen nach Potenzen von t; Ergebnis:
( 1+ 3a ) * t ^ 2 + ( 3b - 2a ) * t + (3 c – b ) = 0
Da die linke Seite für alle t null sein muss, sind die
Inhalte der drei runden Klammern alle null.
Wir können die Koeffizienten a , b , c der Reihe nach
Bestimmen und erhalten:
a = - 1/3 , b = - 2 / 9 , c = - 2 / 27.
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
lautet somit:
x = - 1/3 * t^2 – 2/9 t - 2/27;
addieren wir dies zur allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung, die weiter oben steht und mit Sternen unterstrichen
ist, so kommt als allgemeine Lösung der gegebenen DGL:
x = k* e ^ (3 t ) - 1/3 * t^2 – 2/9 t - 2/27
setzt man darin t = 0 und gleichzeitig x = xo,
so erhält man eine Gleichung für k mit der Lösung
k = xo + 2/27.
Damit ist diese Aufgabe gelöst.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.






Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page