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Tilo Kruse (bbk)
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Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 22:13: | 
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Hab mal wieder Schwierigkeiten, Hilfe wäre nett.
1. p und q seinen ungerade Primzahlen, r und s seinen natürliche Zahlen.
Zeigen Sie, daß n = p^r*q^s defizient ist.
2. â*(k) bezeichne die Summe der echten Teiler von k, d.h. â*(k) = â(k) – k.
Eine natürliche Zahl n heißt unberührbar, wenn es kein x Element N gibt mit
â*(x) = n.
Untersuchen Sie alle einstelligen Zahlen auf Unberührbarkeit und
begründen Sie Ihre Ergebnisse.
3. f(n) sei die n-te Fibonacci-Zahl.
Vermuten Sie eine Formel für f(n)*f(n+2) – f²(n+1) und beweisen Sie Ihre
Vermutung.
4. Eine Lucas-Folge ist definiert durch zwei Startwerte a1 und a2 und die
Festlegung a(n+2) = a(n+1) + a(n) für n Element von N.
Beweisen Sie den folgenden Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge:
a(n+1) = a1*f(n-1) + a2*f(n) für n > 1 |
Orion (orion)
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Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 450
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Januar, 2003 - 07:58: |
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Tilo,
Hier einige Denkanstösse:
3. Nenne den fraglichen Ausdruck g(n). Dann gilt
g(0)=-1 und
g(n)=f(n)[f(n+1)+f(n)]-f(n+1)2
= f(n+1)[f(n)-f(n+1)]+f(n)2
=- f(n+1)f/n-1)+f(n)2
= - g(n-1).
4. Beachte, dass f(n) und a(n) derselben Rekursion
genügen.
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
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Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 14:14: |
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Problem bei 4 ist, dass ich das irgendwie überhaupt nicht verstehe, was man da von mir will.
Bei Aufgabe drei ist mir klar, dass (-1)^(n-1) herauskommen muss, nur ist mir die Beweisführung nicht klar. Wir haben in der Vorlesung immer einfach Gleichungsketten gemacht, die dann addiert...nur gelingt mir das hier nicht.
Aufgabe 2 habe ich inzwischen selber gelöst, Aufgabe 1 ist mir auch zu schwer |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 453
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 21:49: |
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Tilo,
Zu 3.: Die Behauptung lautet g(n)=(-1)n-1 für
alle n. Das stimmt für n=0, und mittels der
hergeleiteten Beziehung g(n) = - g(n-1) ergibt sich
die Allgemeingültigkeit durch Induktion.
Zu 4.: Denke etwa an die klassiche Lucas-Folge
a(n)=L(n) : L(0)=2,L(1)=1, L(n+2)=L(n)+L(n+1).
Beh.: F(n+1)=L(1)F(n-1)+L(2)F(n)=F(n-1)+3F(n).
Auch das zeigt man wieder durch vollst. Induktion.
mfG Orion
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 09:02: |
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Tilo,
Hier ein Lösungsvorschlag zu 1.:
Nach der Teilersummenformel ist
s(psqt)=
[(ps+1-1)/(p-1)]*[(qt+1-1)/(q-1)]
=[ps+ps/(p-1)]*[qt+qt/(q-1)].
Weil p,q verschiedene ungerade Primzahlen sind,
gilt p >= 3 und q>= 5, daher
s(psqt) =< (3/2)ps*(5/4)qt
< 2 ps qt , QED.
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
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Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 20:35: |
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Hmmm...danke, schau es mir mal nachher genauer an, dann werde ich noch eventuelle Fragen haben. Problem ist nur, dass ich bei Aufgabe 4 schon gar nicht weiß, was ne Lukas Folge ist und worin der Unterschied zu einer Fibonacci-Folge ist |
Tilo Kruse (bbk)
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Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 12:08: |
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So, habe es mir nun nochmal genauer angeschaut:
2 Fragen sind noch:
1. Bei Aufgabe 1.
Wieso gilt: [p^(s+1)-1]{Ich denk mal, das da Klammern drumgehören?}/p-1 =
p^s+p^s/p-1?
Müssen um den Zähler jetzt auch Klammern drum?
2. Aufgabe 3:
Wieso muss ich für n=0 beginnen, f(0) ist doch gar nicht bestimmt???
Ach ja, wie bekommt ihr es hin, dass ihr nicht mit ^ dem hier agieren müsst, wenn ich das von Word kopiere, verschwindet die Formatierung? |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 457
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 14:37: |
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Tilo,
1.ps+1-1 = ps(p-1)+ps-1 < ps(p-1)+ps !
==>[ps+1-1]/(p-1) < ps + ps/(p-1)
In der entsprechenden Fortmelzeile sollte < statt =
stehen: Sorry für den Druckfehler.
3. Laut Aufgabenstellung soll
(1) a(n+1)=a(1)f(n-1)+a(2)f(n) für alle n > 1
bewiesen werden. Nach Def. von f(n) ist f(0)=0,f(1)=1,
f(n+2)=f(n+1)+f(n). In Uebereinstimmung mit dieser
Def. lässt sich (f(n)) nach links fortsetzen, speziell ist
dann f(-1)=1 (1=0+1 !) (1) ist daher für n=0 und n=1
erfüllt, und es gelte für Indices n ,n+1, für irgendein
n>=1 (Induktionsannahme). Dann ist
a(n+2) = a(n+1)+a(n)
= a(1)f(n-1)+a(2)f(n)+a(1)f(n-2)+a(2)f(n-1)
= a(1)[f(n-1)+f(n-2)]+a(2)[f(n)+f(n-1)]
= a(1)f(n) + a(2)f(n+1).
Die Beh. gilt also auch für n+2.
mfG Orion
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Tilo Kruse (bbk)
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Benutzername: bbk
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 15:15: |
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Habe nun alle Lösungen, nachdem ich mir das auch nochmal verschriftlicht hatte, wurden die Aufgaben 1, 3 und 4 gleich viel einfacher. Vielen Dank Orion, denn ohne Deine Hilfe wäre ich vor allem bei Aufgabe 1 nicht weitergekommen. Und danke für deine Geduld |
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