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lilith (lilith83)
Neues Mitglied
Benutzername: lilith83
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 09:56: | 
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Und noch etwas, was ich nicht in der Lage bin zu lösen *seufz*:
Gegeben sei das Problem der schwingenden Feder:
Es gilt: F=k*y und F=m*a und a=y"
(F:Federkraft k:Federkonstante y:Weg
a: Beschleunigung m:konstante Masse)
Daraus folgt
m*y"+ky=0 bzw. y"+k/m*y=0
(w=omega;a=alpha; b=beta)
w=wurzel(k/m) daraus folgt die Differentialgleichung
y"+w²y=0
So viel zur Vorarbeit. Jetzt zur eigentlichen Aufgabe:
Die Feder erfahre die Kraft F=sin(wt),
d.h. die Feder werde durch die Differentialgleichung y"(t)+w²y(t)=sin(wt)
beschrieben.
a) Verifizieren Sie, dass
y(t)=asin(wt)+bcos(wt)-(tcos(wt)/2w)
Lösung ist.
b)Interpretieren sie die spezielle äußere Kraft F und ihre Wirkung auf das System.
Was passiert mit der Feder im Laufe der Zeit (z.B a=0, b=1)?
Für mich sieht das aus wie Chinesisch
Vielen Dank im voraus,
Jen
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 448
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 15:17: |
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Jen,
Die Funktionen cos wt , sin wt
sind zwei linear unabhängige Lösungen der
homogenen Differentialgleichung (Dgl.)
(1) y'' + w2y = 0,
die Funktion
(2) - (1/2w)*t*cos wt
ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
(3) y'' + w2y = sin wt.
Das verifiziert man durch Einsetzen (dazu sollte
eigentlich genügen,was man mal in der Schule an
Differentialrechnung gelernt hat).
Wirkt keine äussere Kraft (F=0), so gilt (1), und es
ergibt sich eine ungedämpfte harmonische
Schwingung, d.h.
y(t) = a cos wt + b sin wt
wobei die Konstanten a,b durch die Anfangsbedingungen
y(0), y'(0) ,d.h. Anfangslage und Anfangsgeschwindigkeit bestimmt sind. Wirkt noch die
periodische äussere Kraft F=sin wt,so gilt (3),
und der harmonischen Schwingung überlagert sich
der Term (2). Der Faktor t bewirkt, dass für
t ® ¥ : |y(t)| gegen ¥ strebt. Das nennt
man dann Resonanzkatastrophe.
mfG Orion
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