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Konvergenzbereich einer gebrochen rat...

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Heinz Massoth (mas)
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Benutzername: mas

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 17:12:   Beitrag drucken

Für die Taylor-Reihe gibt es die Formel: Summe von n=0 nach unendlich über f^(n)(xo)/n!*(x-xo)^n, aus welcher man mit lim (n gegen unendlich)an/an+1 den Konvergenzradius ermittelt, mit an=f^(n)(xo)/n!
Für ganzrationale Funktionen des Typs f(x)=a/(1+b*x) kann man gut die obige allgemeine Summenformel herleiten und daraus den Konvergenzbereich ermitteln. Jedenfalls hat dies für 4 Beispielsfunktionen dieses Typs immer funktioniert.
Nun habe ich mir eine eigene Funktion ausgedacht, ohne Polstelle mit der Funktionsgleichung f(x)=x/(x^2-2x+2). Leitet man diese Funktion mehrmals ab und bestimmt jeweils den Funktionswert an der Stelle xo=2, so erhält man die Reihe:
1+(-1/2)/1!*(x-2)+0/2!*(x-2)^2+3/2/3!*(x-2)^3+(-6) /4!*(x-2)^4+15/5!*(x-2)^5 ...
Zur Berechnung des Konvergenzbereichs brauche ich die allgemeine Summenformel, denke ich. In der obigen Reihe kann ich kein System erkennen, aus welcher ich diese allgemeine Summenformel ableiten könnte. Dies gelingt auch nicht unter Einbeziehung der Fakultäten.
Die Grafik läßt vermuten, dass der Konvergenzbereich beschränkt ist.
Meine Frage wäre nun, ist die Mathematik hier am Ende oder gibt es einen Weg, den ich noch nicht kenne, um den Konvergenzradius zu ermitteln?
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heimdall (gjallar)
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Benutzername: gjallar

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 19:10:   Beitrag drucken

Für die Koeffizienten der Taylorreihe

x / (x^2 - 2x + 2) = S n=0¥ an*(x-2)^n

gilt die Rekursion

2a1 + 2a0 = 1
2an + 2an-1 + an-2 = 0 , n > 1

Es ergibt sich folgendes Muster mit Zweierpotenzen:

1, -1/2, 0,
1/4, -1/4, 1/8, 0,
-1/16, 1/16, -1/32, 0,
1/64, -1/64, 1/128, 0,
-1/256, 1/256, -1/512, 0,
1/1024, -1/1024, 1/2048, 0,
...

allgemein ist an = (((-1+i)/2)^n + ((-1-i)/2)^n) / 2

Der Konvergenzradius ist Ö2 (Wurzelkriterium)


Gruß,
Gjallar
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Heinz Massoth (mas)
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Benutzername: mas

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 16:24:   Beitrag drucken

Ehrlich gesagt, hätte ich nicht eine solch kompakte Lösung erwartet.
Gibt es dazu noch einen Hinweis, wie man darauf kommen kann?
Also die Nullstellen des Nenners sind 1+-i. Somit kann man den Bruch aufspalten in 2/((x-1+i)*(x-1-i)). Weiter weiss ich nicht.
Herzlichen Dank aber für die Lösung.
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heimdall (gjallar)
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Mitglied
Benutzername: gjallar

Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 18:28:   Beitrag drucken

Hallo Heinz,

Potenzreihenentwicklung um x = 2, daher Variablentrafo x = 2 + t

x/(x^2 - 2x + 2) = (2 + t)/(t^2 + 2t + 2)

Potenzreihenansatz

(t^2 + 2t + 2) * S n=0¥ an t^n = 2 + t

Durch Koeffizientenvergleich erhält man die angegebene Rekursionsformel.

Gruß,
Gjallar

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