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Beweise?

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Mark
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 17:33:   Beitrag drucken

1. Zeigen Sie: Für alle n >= 4 ist 2^n < n!.

2. Man beweise mittels der binomischen Entwicklung von (1+1)^n, dass (n^3 / 2^n) eine Nullfolge bildet.

3. a) Berechnen Sie die Summe der Reihe Sigma (k=0 bis unendlich) 2^(1-3k) und Sigma (k=1 bis unendlich) 1 / (( 9k^2)-1)

b) Beweisen Sie die Gleichung:

( 1 / (1*2*3)) + ( 1 / (2*3*4)) + ( 1 / (3*4*5)) + ... = 1/4
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 19:15:   Beitrag drucken

Mark:

Hier einige Hinweise:

1. Leichter Induktionsbeweis !

2. FŸr n >= 4 ist

2^n = 1 + binom(n,1) + ...+ binom(n,4) +...
> binom(n,4) ==> n^3/2^n < n^3/binom(n,4) ->0,

denn binom(n,4) ist Polynom 4. Grades in n.

3.a) 2^(1-3k) = 2*(1/8)^k : Geometrische Reihe !

b) Stichwort : Teleskopsumme !
Partialbruchzerlegung ergibt (rechne nach !)

1/[n(n+1)(n+2)] = (1/2)[1/n-1/(n+1)]
- (1/2)[1/(n+1)-1/(n+2)].

mfg

Hans

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